Laplace-Runge-Lenz-Vektor

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Der Laplace-Runge-Lenz-Vektor (in der Literatur auch Runge-Lenz-Vektor, Lenz-Runge-Vektor etc., nach Pierre-Simon Laplace, Carl Runge und Heinrich Friedrich Emil Lenz) ist eine Erhaltungsgröße der Bewegung im $V (r) = - α / r$ -Potenzial (Coulomb-Potenzial, Gravitationspotenzial).

Er ist definiert als

$\vec A = \vec p \times \vec L - m \alpha \frac{\vec r}{r}$

mit

$\vec p$ : Impuls des Körpers
$\vec L$ : Drehimpuls des Körpers
$m$ : Masse des Körpers
$α$ : Proportionalitätskonstante des Potenzials, $γ m M$ für Kepler, $q 1 q 2 / (4πε 0 ε r)$ für Coulomb
$\vec r$ : Ortsvektor des Körpers
$r = \left|\vec r\right|$ : Betrag des Ortsvektors

und ermöglicht die elegante Herleitung der Bahnkurve $r(\varphi)$ eines Teilchens (z.B. Planet im Keplerproblem, Elektron im Wasserstoffatom), worauf die resultierende Kraft eines solchen Potenzials wirkt.

[Bearbeiten] Beweis der Erhaltung

Die totale Zeitableitung des Runge-Lenz-Vektors muss verschwinden. Man erhält:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \vec A = \dot{ \vec p}\times \vec L + \vec p \times \dot{\vec L} - m\alpha \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \frac{\vec r}{r} \right)$

In diesem System haben wir Isotropie. Daher gilt die Drehimpulserhaltung : $\dot{\vec L}=0$ .

Das Potential V erzeugt eine (konservative)Kraft nach ${\vec F} = - \frac{\partial V}{\partial {\vec r}} = \alpha \frac{\partial}{\partial {\vec r}} \frac{1}{r} = -\frac{\alpha}{r^3}{\vec r} =\dot{ \vec p}$ Der Drehimpuls ist definiert mit: $\vec L =\vec r \times m \dot{\vec r}$
Somit erhält man:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \vec A = \dot{ \vec p}\times \left( \vec r \times m \dot{\vec r} \right) + \vec p \times {\vec 0} - m\alpha \left( \frac{\dot \vec r}{r} - \frac{\vec r \dot r}{r^2} \right)$
$= -\frac{\alpha}{r^3}{\vec r} \times \left( \vec r \times m \dot{\vec r} \right) + \vec 0 - m\alpha \left( \frac{\dot \vec r}{r} - \frac{\vec r \dot r r}{r^3} \right)$

Nun kann man die bac-cab-Regel anwenden. Diese lautet ( $\langle\cdot,\cdot\rangle$ ist das Skalarprodukt):
$a \times (b \times c) = b \langle c,a\rangle - c \langle b,a\rangle$
Somit erhalten wir:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \vec A = -\frac{m \alpha}{r^3} \left( \vec r (\dot \vec r \vec r) - \dot \vec r ( \vec r \vec r) \right) - m\alpha \left( \frac{\dot \vec r}{r} - \frac{\vec r \dot r r}{r^3} \right)$
$= -\frac{m \alpha}{r^3} \vec r (\dot \vec r \vec r) +\frac{m \alpha}{r^3} \dot \vec r (r^2) - m\alpha \frac{\dot \vec r}{r} + m\alpha \frac{\vec r \dot r r}{r^3}$
$= -\frac{m \alpha}{r^3} \vec r (\dot \vec r \vec r) + m\alpha \frac{\vec r \dot r r}{r^3}$

In Polarkoordinaten, $(ρ,φ)$ , dargestellt lässt sich das Skalarprodukt $\dot{\vec r }\cdot{\vec r}$ stark vereinfachen:

$\dot{\vec r}\cdot{\vec r} = (\dot{\rho}\hat{\mathbf{\rho}} + \rho\dot{\varphi}\hat{\boldsymbol\varphi})\cdot \rho\hat{\mathbf{\rho}} = \dot{\rho} \rho.$
Auf unsere Notation übertragen:
$\dot{\vec r}\cdot{\vec r} = r \dot r.$
Damit lässt sich zeigen, dass sich der Rest aufhebt:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \vec A = -\frac{m \alpha}{r^3} \vec r \dot r r + m\alpha \frac{\vec r \dot r r}{r^3}$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \vec A = \vec 0$
Da sich der Wert des Laplace-Runge-Lenz-Vektors über die Zeit folglich nicht ändert, muss er konstant sein.

[Bearbeiten] Herleitung der Bahnkurve

Hierfür ist normalerweise eine aufwändige Integration mit mehreren Substitutionen nötig, aus der Multiplikation des Runge-Lenz-Vektors mit $\vec r$ folgt nun aber einfach nach der Kosinusbeziehung des Skalarprodukts (pfeillose Buchstaben kennzeichnen stets die Beträge des zugehörigen Vektors):

$\vec A\cdot\vec r = A r \cos \varphi = \vec r \cdot \left( \vec p \times \vec L \right) - m \alpha r = \vec L \cdot \left( \vec r \times \vec p \right) - m \alpha r = L^2 - m\alpha r$

Hierbei wurde die Zyklizität des Spatproduktes sowie die Drehimpulsdefinition genutzt. $\varphi$ bezeichnet den Winkel zwischen Runge-Lenz- und Ortsvektor.

Man kann das noch ein wenig umschreiben und erhält dadurch die typische Kegelschnittgleichung in Polarkoordinaten:

$r = -\frac{ L^2 / (m \alpha)}{1 + \epsilon \cos \varphi}$

Dabei ist $ε = A / m α$ die numerische Exzentrizität des Kegelschnitts, die die Bahnform Kreis ( $ε = 0$ ), Ellipse ( $0 < ε < 1$ ), Parabel ( $ε = 1$ ) oder Hyperbel ( $ε > 1$ ) bestimmt.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Der Runge-Lenz-Vektor liegt in der Bahnebene, denn er steht senkrecht zum Drehimpulsvektor, der dessen Normale ist:

$\vec L \cdot \vec A = \vec L \cdot \left( \vec p \times \vec L\right) - m \alpha\frac{\vec L \cdot \vec r}{r} = \vec p \cdot \left( \vec L \times \vec L \right) - m \alpha \frac{ \left( \vec r \times \vec p \right) \cdot \vec r}{r} = 0$

Der Runge-Lenz-Vektor zeigt zum Perihel, d.h. zentrumnächsten Punkt der Bahn. Dies folgt sofort aus obiger Bahngleichung, da $\varphi$ den Winkel zwischen Orts- und Runge-Lenz-Vektor darstellt und $r$ minimal ist für maximalen Nenner, d.h. $\cos \varphi = 1 \Rightarrow \varphi = 0$ .

Der Runge-Lenz-Vektor hat als Betrag das $m α$ -fache der numerischen Exzentrizität der Bahnkurve. Dies wurde bereits bei der Herleitung derselben gezeigt.

Kategorie: Theoretische Physik

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