Kompressionsmodul

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Der Kompressionsmodul (Formelzeichen: K) ist eine intensive und stoffeigene physikalische Größe aus der Elastizitätslehre. Er beschreibt, welche allseitige Druckänderung nötig ist, um eine bestimmte Volumenänderung hervorzurufen. Die Eigenschaft von Stoffen, dass sie einer Komprimierung Widerstand entgegensetzen, hat ihre Ursache im Pauli-Prinzip.

Die Kompression, Verdichtung, Komprimierung ist ein (allseitiges) Zusammendrücken eines Körpers, welches dessen Volumen verringert und seine Dichte (Massendichte) erhöht. Körper werden nur als kompressibel betrachtet, wenn die auftretenden Druckveränderungen ausreichen, um merkliche Dichteänderungen zu verursachen, was meist, (nur) bei Gasen der Fall ist. Nach dem Vorgang ist der Körper verdichtet (komprimiert). In der Regel erfolgt nur eine elastische Verformung und die Verdichtung kehrt sich beim Nachlassen des Drucks wieder um, der Körper dehnt sich wieder aus (Ausdehnung = Expansion). Bei Festkörpern kann zwar abhängig von Material bei hohen Drücken teilweise eine bleibende Änderung der Struktur mit erhöhter Dichte eintreten, die bleibende Verdichtung ist aber ein anderer Vorgang der nicht vom Kompressionsmodul beschrieben wird. Auch eine Erhöhung anderer spezifischer Größen als der Massendichte wird nicht vom Kompressionsmodul beschrieben.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Kompressionsmodul von Festkörpern mit isotropem Materialverhalten
3 Kompressibilität von Flüssigkeiten und Gasen
4 Beispiele
- 4.1 Wasser
- 4.2 Neutronensterne
5 Siehe auch
6 Quellenangaben

[Bearbeiten] Definition

Der Kompressionsmodul ist definiert als:

$K := - \frac {V d p} {d V} = - \frac {d p} {d V/V}$

Das negative Vorzeichen entsteht aus der Forderung, dass sich bei einem Druckzuwachs eine Abnahme der Größe dV/V ergibt, dabei aber K positiv bleiben soll. Die SI-Einheit des Kompressionsmoduls ist Pascal bzw. Newton/Quadratmeter. Der Kompressionsmodul ist eine Materialkonstante, die von der Temperatur und vom Druck abhängig ist. Der Zahlenwert stellt den Druck dar, bei dem das Volumen zu 0 wird, wenn der Kompressionsmodul bei höheren Drücken nicht ansteigen würde.

Hierbei stehen die einzelnen Formelzeichen für folgende Größen:

V - Volumen
dp - infinitesimale Druckänderung
dV - infinitesimale Volumenänderung
dV/V - relative Volumenänderung

[Bearbeiten] Kompressionsmodul von Festkörpern mit isotropem Materialverhalten

Man kann sie hierbei auch aus anderen Elastizitätskonstanten errechnen, unter Voraussetzung linear-elastischen Verhaltens und isotropen Materials:

$K = \frac {E} {3 - 6\mu} = \frac {GE} {9G - 3E} = \frac {2G(1+\mu)} {3(1-2\mu)}$

wobei:

[Bearbeiten] Kompressibilität von Flüssigkeiten und Gasen

Oft wird bei Gasen und Flüssigkeiten der Kehrwert des Kompressionsmoduls, die Kompressibilität (Formelzeichen: κ oder χ), auch Kompressibilitätskoeffizient, verwendet.

$\kappa = \frac {1}{K} = - \frac {d V} {V d p} = - \frac {d V/V}{d p} = - \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_{T,n}$ .

Lange wurde die Kompressibilität von Flüssigkeiten bezweifelt, bis sie John Canton 1761, Jacob Perkins 1820 und Hans Christian Oersted 1822 durch Messungen nachweisen konnten.

Bei Gasen folgt die Kompressibilität dem Boyle-Mariotte-Gesetz.

[Bearbeiten] Beispiele

Kompressionsmodul-Werte einiger Substanzen
Wasser	2,08·10⁹ Pa (Wert steigt bei Druckanstieg)
Luft	1,42·10⁵ Pa (adiabatisch)
Luft	1,01·10⁵ Pa (konstante Temperatur)
Stahl	1,6·10¹¹ Pa
Glas	3,5·10¹⁰ bis 5,5·10¹⁰ Pa
Helium im festen Zustand	5·10⁷ Pa (geschätzt)
Diamant	4,42·10¹¹ Pa
Osmium	4,62·10¹¹ Pa
ADNR	4,91·10¹¹ Pa (Härtestes 2008 bekanntes Material^[1])

[Bearbeiten] Wasser

Der Kompressionsmodul von Wasser beträgt bei einer Temperatur von 10 °C unter Normaldruck 2,08·10⁹ Pa.

Bezieht man die Kompressibilität des Wassers in die Berechnung des Drucks mit ein, ergibt sich mit der Kompressibilität $\kappa = - \frac{d V}{V \cdot d p} = 0{,}5 \frac{1}{\mathrm{GPa}}$ das folgende Diagramm:

Einflüsse der Zugabe ausgewählter Glasbestandteile auf das Kompressionsmodul eines speziellen Basisglases.^[2]

In 12.000 m Tiefe ergäbe sich hiermit bei einer Dichte von 1.000 kg/m³ in 0 m Tiefe eine Abweichung des berechneten realen Drucks vom idealen von ca. 3,5 %. Hierbei bleiben jedoch weiterhin Temperatureffekte ebenso wie andere Einflüsse unberücksichtigt.

[Bearbeiten] Neutronensterne

Bei Neutronensternen sind unter dem Druck der Gravitation alle Atomhüllen zusammengebrochen und die Elektronen haben sich mit den Protonen der Atomkerne zu Neutronen verbunden. Neutronen sind die inkompressibelste Form der Materie, die bekannt ist. Ihr Kompressionsmodul liegt 20 Größenordnungen über dem von Diamanten.

[Bearbeiten] Siehe auch

Kompression, thermische Zustandsgleichung, Boyle-Mariotte-Gesetz
Schubmodul
Poissonzahl
Elastizitätsmodul (Zugmodul, Youngscher Modul)
Kontinuumsmechanik
Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan
Inkompressibilität

[Bearbeiten] Quellenangaben

↑ Natalia Dubrovinskaia, Leonid Dubrovinsky, Wilson Crichton, Falko Langenhorst, Asta Richter. Aggregated diamond nanorods, the densest and least compressible form of carbon. Applied Physics Letters, 22 August 2005.
↑ Glassproperties.com Calculation of the Bulk Modulus for Glasses

Kategorien: Thermodynamik | Festigkeitslehre | Werkstoffeigenschaft

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition

[Bearbeiten] Kompressionsmodul von Festkörpern mit isotropem Materialverhalten

[Bearbeiten] Kompressibilität von Flüssigkeiten und Gasen

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Wasser

[Bearbeiten] Neutronensterne

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Quellenangaben

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