Glückliche Zahl

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Eine glückliche Zahl ist eine Zahl die, ähnlich der Primzahl, mit einem Siebprinzip ähnlich dem Sieb des Eratosthenes gefunden wird.

Die glücklichen Zahlen sind 1955 von Stanislaw Ulam nach einer Begebenheit benannt worden, die in einer Geschichte des Josephus vorkommt: Bei einer Belagerung wollen die belagerten Soldaten nicht in die Hände der Feinde fallen, und sich vorher umbringen. Einer der Soldaten will dieses nicht tun, und sich und einen Freund retten. Dazu fällt ihm eine Möglichkeit ein, in Form einer rituellen Selbsttötung. Die Gruppe stellt sich in einer Reihe auf, und dann tötet sich jeder zweite, und in der nächsten Runde jeder dritte, und so weiter. Durch das richtige Aufstellen konnten sich also der Mann und sein Freund retten.

Genau wie bei dem Sieb des Eratosthenes fängt man mit allen natürlichen Zahlen an, nur dass im Gegensatz zum Sieb des Eratosthenes die Zahl 1 mit einbezogen wird:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 ...

Die Zahl 1 ist die erste Zahl, und damit eine glückliche Zahl. Nun werden alle geraden Zahlen entfernt:

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 ...

Die Zahl 3 ist die nächste, noch nicht gestrichene Zahl, und damit die zweite glückliche Zahl

Nun wird jede dritte Zahl entfernt:

1 3 7 9 13 15 19 21 25 27 31 33 37 39 43 45 49 51 55 57 ...

Wenn man so weiter macht (als nächstes wird jede siebte Zahl entfernt), erhält man auf diese Weise die Folge der glücklichen Zahlen: 1 3 7 9 13 15 21 25 31 33 37 43 49 51 63 67 69 73 75 79 87 93 99 ...

Die Primzahlen, die glückliche Zahlen sind, nennt man glückliche Primzahlen:

3 7 13 31 37 43 67 73 79 127 151 163 193 211 223 241 283 307 331 349 367 409 421 433 463 487 541 577 601 613 619 631 643 673 727 739 769 787 823 883 937 991 997 1009

Es ist unbekannt, ob unendlich viele glückliche Primzahlen existieren.