Fermatsches Prinzip

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Das Fermatsche Prinzip besagt, dass Licht in einem Medium in der Regel den schnellsten Weg von einem Punkt zum anderen nimmt.

Es verhält sich so wie ein Rettungsschwimmer, der jemanden im Wasser retten will. Um ihm schnellstens zur Hilfe zu kommen, läuft er schnell am Strand auf einen Punkt zu, von dem aus der Weg durch das Wasser kurz ist und daher fast rechtwinklig zum Strand verläuft. Zwar ist dieser Weg länger als der direkte, aber es geht weniger Zeit mit langsamem Schwimmen verloren.

Das Prinzip der kürzesten Laufzeit ist nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat benannt.

Aus dem Fermatschen Prinzip folgen das Snelliussche Brechungsgesetz und das Reflexionsgesetz. In einem homogenen Medium folgen Lichtstrahlen geraden und in einem inhomogenen Medium (mit ortsabhängiger Brechzahl) gekrümmten Bahnen.

Darauf beruhen sogenannte Luftspiegelungen: über heißem Boden, etwa einer sonnenbeschienenen Straße, bildet sich eine heiße Luftschicht, deren Brechzahl geringer ist als die der kühleren Luft darüber. Die Lichtstrahlen, die flach auf die heiße Luftschicht treffen, werden nach oben zurück gekrümmt. Es sieht dann so aus, als würde das Licht wie von einer Wasserpfütze reflektiert.

[Bearbeiten] Mathematische Formulierung

Mathematisch gesagt durchläuft Licht in einem Medium mit Brechzahl $n(\vec{x})$ zwischen den Punkten $\vec{x}(t_1)$ und $\vec{x}(t_2)$ von allen denkbaren Bahnen $X:t\mapsto \vec{x}(t)$ durch diese Punkte diejenige Bahn, auf der die Laufzeit

$\tau[X] = \frac{1}{c}\,\int_{t_1}^{t_2} n(\vec{x}(t))\, \sqrt{\bigl(\frac{\mathrm d \vec{x}(t)}{\mathrm d t}\bigr)^2}\, dt$

minimal, genauer stationär, ist. Die Größe $τ$ hat die Bedeutung der Lichtlaufzeit zwischen beiden Punkten, denn die Brechzahl ist an jedem Ort das Verhältnis der Vakuumslichtgeschwindigkeit $c$ zur dortigen Lichtgeschwindigkeit $v$ im Medium,

$n=\frac{c}{v}\,.$

Meist ist die Lichtlaufzeit ein Minimum, das heißt jede kleine Variation der Bahn verlängert sie. Dies muss aber nicht immer so sein, wie die rechte Abbildung zeigt. Für eine Bahn zwischen den zwei Brennpunkten $S$ und $P$ einer Ellipse sind drei mögliche Fälle eingezeichnet.

Reflexion an einer Fläche mit einer geringeren Krümmung als jene der Ellipsoidfläche: Der Lichtweg besitzt ein Minimum.
Reflexion an der Ellipsoidfläche: alle Punkte auf der Fläche sind gleichwertig; Verschieben des Reflexionspunkts ändert die Laufzeit nicht.
Reflexion an einer Fläche mit einer höheren Krümmung als jene der Ellipsoidfläche: Die Laufdauer besitzt bei Verschiebung des Reflexionspunktes auf dieser Fläche an dieser Stelle ein Maximum. Dies tritt bei Reflexion an einem Hohlspiegel auf.