Fermatův princip

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Fermatův princip lze využít při odvození Snellova zákona lomu.

Fermatův princip je fyzikální tvrzení, které zformuloval Pierre de Fermat a které shrnuje základní zákony geometrické optiky do následující věty:

Světlo se v prostoru šíří z jednoho bodu do druhého po takové dráze, aby doba potřebná k proběhnutí této dráhy nabývala extrémní hodnotu.

Extrémem je ve většině případů minimum.

Lze tedy říci, že dráha spojující dva pevné body, po níž se světelný paprsek šíří, je ze všech drah, které dané dva body spojují, nejkratší (popř. nejdelší). Paprsek spojující dva body si vždy vybere takovou trajektorií, kterou světlo urazí za nejmenší možný (extrémní) čas.

Fermatův princip lze odvodit z Huygensova principu. Fermatův princip lze považovat za speciální případ principu nejmenší akce.

Fermatův princip lze využít např. při odvození zákona odrazu nebo Snellova zákona lomu.

[editovat] Matematické vyjádření

Optická dráha z bodu $[x (s 0), y (s 0)]$ do bodu $[x (s 1), y (s 1)]$ je dána rovnicí

$A = \int_{s=s_0}^{s_1} n(x(s),y(s)) \sqrt{x'(s)^2 + y'(s)^2} \, \mathrm{d}s, \,$

kde $n (x, y)$ je index lomu závisející na materiálu prostřednictvím souřadnic $x, y$ . Podle Fermatova principu hledáme stacionární bod optické dráhy, tedy

$\delta A = \delta\int_{s=s_0}^{s_1} n(x(s),y(s)) \sqrt{x'(s)^2 + y'(s)^2} \, \mathrm{d}s=0,\,$

což prostřednictvím metod variačního počtu vede na Euler-Lagrangeovu rovnici ve tvaru

$\frac{\partial n(x(s),y(s))}{\partial x} x'(s)+ \frac{\partial n(x(s),y(s))}{\partial y} y'(s) -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \left(\frac{x'(s)+y'(s)}{x'(s)^2+y'(s)^2} \right) n(x(s),y(s)) =0. \,$