Extremalpunkt

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Ein Extremalpunkt einer konvexen Menge K eines reellen Vektorraums ist ein Punkt x aus K, der sich nicht als Konvexkombination zweier verschiedener Punkte aus K darstellen lässt, also zwischen keinen zwei anderen Punkten aus K liegt. Das heißt, es gibt keine Punkte mit x = λa + (1 − λ)b für ein 0 < λ < 1.

[Bearbeiten] Beispiele

Extremalpunkte (rot) einer konvexen Menge K (blau und rot) können nicht als Konvexkombination zweier verschiedener Punkte aus K dargestellt werden

1. Ein Dreieck ist eine konvexe Menge, die Extremalpunkte sind genau die Ecken des Dreiecks.
2. Eine abgeschlossene Kugel im Rⁿ ist konvex, die Extremalpunkte sind genau die Randpunkte. Eine offene Kugel hat keine Extremalpunkte. Das gilt in allen Hilberträumen.
3. Die positiven Funktionale mit Norm 1 einer kommutativen C*-Algebra bilden eine konvexe Menge. Die Extremalpunkte sind genau die multiplikativen Funktionale.

[Bearbeiten] Anwendungen

• Die Extremalpunkte eines Polyeders nennt man Ecken. Diese spielen eine wichtige Rolle beim Simplex-Verfahren.
• In vielen Situationen gelingen Charakterisierungen von Extremalpunkten als Objekte mit besonderen Eigenschaften wie im Beispiel 3. Der Satz von Krein-Milman führt dann zu Sätzen über die Existenz solcher Objekte.

[Bearbeiten] Literatur

• Kadison Ringrose: Fundamentals of Operator Algebras, Academic Press 1983