C*-Algebra

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

In der Funktionalanalysis sind die C*-Algebren eine Abstraktion der beschränkten linearen Operatoren auf einem Hilbertraum (sie verallgemeinern insbesondere Methoden der Quantenmechanik, obwohl man es in dieser Theorie überwiegend mit nicht-beschränkten Operatoren im Hilbertraum zu tun hat). Neben den C*-Algebren gibt es auch A*- und B*-Algebren, die aber heutzutage kaum noch verwendet werden. Heute wird die Theorie der C*-Algebren auch als nichtkommutative Topologie angesehen.

Inhaltsverzeichnis 1 Definition und Eigenschaften 2 Standardbeispiele; die Sätze von Gelfand und Neumark und von Gelfand, Neumark und Segal 3 Weitere Eigenschaften von C*-Algebren 3.1 Homomorphismen zwischen C*-Algebren 3.2 Endlichdimensionale C*-Algebren 3.3 Konstruktion neuer C*-Algebren aus vorgegebenen 3.4 Weitere Beispiele von C*-Algebren 4 Literatur

[Bearbeiten] Definition und Eigenschaften

Eine C*-Algebra A ist eine involutive Banachalgebra, bei der die Norm zusätzlich die C*-Eigenschaft besitzt:

für alle .

Man spricht von einer kommutativen C*-Algebra, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Aus der C*-Eigenschaft folgt automatisch, dass die Involution isometrisch ist, also für alle gilt.

[Bearbeiten] Standardbeispiele; die Sätze von Gelfand und Neumark und von Gelfand, Neumark und Segal

Das bekannteste Beispiel einer C*-Algebra ist die Algebra B(H) der beschränkten linearen Operatoren auf einem Hilbertraum H und allgemeiner jede in der Normtopologie abgeschlossene selbstadjungierte Unteralgebra von B(H). Umgekehrt besitzt nach dem Satz von Gelfand, Neumark und Segal jede C*-Algebra diese Form, ist also zu einer normabgeschlossenen selbstadjungierten Unteralgebra eines B(H) isomorph.

Die komplexwertigen, stetigen und im Unendlichen verschwindenden Funktionen C₀(X) auf einem lokalkompakten Hausdorffraum X bilden bezüglich der Supremumsnorm und der komplexen Konjugation eine kommutative C*-Algebra. Der Satz von Gelfand und Neumark besagt, dass jede kommutative C*-Algebra zu einer solchen Algebra von Funktionen isomorph ist.

[Bearbeiten] Weitere Eigenschaften von C*-Algebren

[Bearbeiten] Homomorphismen zwischen C*-Algebren

Sind A und B C*-Algebren, dann heißt eine Abbildung *-Homomorphismus, falls sie linear, multiplikativ und mit der Involution verträglich ist.

Jeder *-Homomorphismus ist kontrahierend, das heißt, es gilt für beliebiges , und daher insbesondere stetig.

Injektive *-Homomorphismen sind automatisch isometrisch, das heißt, es gilt für beliebiges .

[Bearbeiten] Endlichdimensionale C*-Algebren

Die Algebren der komplexen -Matrizen M_n, die mit den linearen Operatoren auf identifiziert werden können, bilden mit der Operatornorm eine C*-Algebra. Man kann zeigen, daß jede endlichdimensionale C*-Algebra zu einer direkten Summe solcher Matrixalgebren isomorph ist.

[Bearbeiten] Konstruktion neuer C*-Algebren aus vorgegebenen

Direkte Summen, direkte Produkte, induktive Limiten und Tensorprodukte von C*-Algebren sind mit einer geeigneten Normdefinition wieder C*-Algebren.

[Bearbeiten] Weitere Beispiele von C*-Algebren

• Die kompakten Operatoren K(H) auf einem Hilbertraum H bilden eine C*-Unteralgebra von B(H). K(H) ist ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal in B(H). Die Quotienten-Algebra B(H) / K(H) heißt Calkin-Algebra.
• Von-Neumann-Algebren sind stark abgeschlossene *-Unteralgebren von B(H). Da die starke Operatortopologie schwächer als die Normtopologie ist, sind die von-Neumann-Algebren auch in der Normtopologie abgeschlossen und daher insbesondere C*-Algebren.
• Sonstige Beispiele: UHF-Algebren, AF-Algebren, universelle C*-Algebren, Rotationsalgebra, Cuntz-Algebra, Cuntz-Krieger-Algebra, Toeplitz-Algebra, Gruppen-C*-Algebra.

[Bearbeiten] Literatur

• J. Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969
• R.V. Kadison, J. R. Ringrose, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983
• M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I (Springer 1979, 2002)