Arkussinus und Arkuskosinus

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Arkussinus (geschrieben arcsin, asin oder sin^-1, letzteres sollte vermieden werden, um Verwechslung mit dem Kosekans zu vermeiden) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Sinusfunktion. Arkuskosinus (geschrieben arccos, acos oder cos^-1) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Kosinusfunktion. Beide Funktionen gehören damit zur Klasse der Arkusfunktionen.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Eigenschaften
3 Formeln für negative Argumente
4 Reihenentwicklung
5 Ableitungen
6 Integrale
7 Komplexes Argument
8 Anmerkungen
- 8.1 Besondere Werte
- 8.2 Sonstiges
9 Siehe auch
10 Literatur

[Bearbeiten] Definition

Die Sinusfunktion ist $2π$ -periodisch und innerhalb einer Periode nicht injektiv. Daher muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, damit sie umkehrbar-eindeutig wird. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert), die Umkehrfunktion der Einschränkung $\sin|_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}$ betrachtet. In diesem Fall entsteht die bijektive Funktion mit

$\arcsin\colon[-1,1]\to \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right].$

Analog zum Arkussinus wird der Hauptwert des Arkuskosinus definiert als die Umkehrfunktion von $cos | [0,π]$ . Diese Definition führt zu der bijektiven Funktion

$\arccos\colon[-1,1]\to[0,\pi],$

die sich mittels $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$ ineinander umrechnen lassen.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Graph der Funktion Arkussinus

Graph der Funktion Arkuskosinus

	Arkussinus	Arkuskosinus
Definitionsbereich	$-1 \le x \le 1$	$-1 \le x \le 1$
Wertebereich	$-\frac{\pi}{2} \le f(x) \le + \frac{\pi}{2}$	$0 \le f(x) \le \pi$
Monotonie	streng monoton steigend	streng monoton fallend
Symmetrien	Ungerade Funktion: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)\!$	Punktsymmetrie zu $\left(x=0\;,\;y =\frac{\pi}{2}\right)$ $\arccos(x) = \pi - \arccos(-x)\!$
Asymptoten	$f(x) \to\pm \frac{\pi}{2}$ für $x \to\pm 1$	$f(x) \to \frac{\pi}{2} \mp \frac{\pi}{2}$ für $x \to\pm 1$
Nullstellen	$x = 0\!$	$x = 1\!$
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	$x = 0\!$	$x = 0\!$

[Bearbeiten] Formeln für negative Argumente

Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt:

$\arcsin(-x) = -\arcsin(x)\,$

$\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\,$

[Bearbeiten] Reihenentwicklung

Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Anwenden der binomischen Reihe auf die Ableitung, sie ist gegeben durch:

$\arcsin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = x \;+\; \frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3} \;+\; \frac{3}{2\!\cdot\!4}\cdot\frac{x^5}{5} \;+\; \frac{3\!\cdot\!5}{2\!\cdot\!4\!\cdot\!6}\cdot\frac{x^7}{7} \;+\; \ldots$

Die Taylorreihe des Arkuskosinus ist aufgrund der Beziehung $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$ :

$\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$

[Bearbeiten] Ableitungen

Arkussinus:

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin(ax+b) = \frac{a}{\sqrt{1-(ax+b)^2}}$

Mit a = 1 und b = 0:

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Allgemein:

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (f(x)) = \frac{f'(x)}{\sqrt{1-f(x)^2}}$

Arkuskosinus:

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(ax+b) = - \frac{a}{\sqrt{1 - (ax+b)^2}}$

Mit a = 1 und b = 0:

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x) = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Allgemein:

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(f(x)) = - \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - f(x)^2}}$

Umrechnung:

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x) = - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (x)$

[Bearbeiten] Integrale

Arkussinus:

$\int \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) \mathrm dx = x\,\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + \sqrt{a^2 - x^2 } + C$

Arkuskosinus:

$\int \arccos \left( \frac{x}{a} \right)\, \mathrm dx = x \, \arccos \left( \frac{x}{a} \right) - \sqrt{ a^2 - x^2} + C$

[Bearbeiten] Komplexes Argument

$\begin{align} \arcsin(a+b\,\mathrm{i}) = \quad \frac{\sgn{a}}{2} \cdot \arccos & \!\left( \sqrt{(a^2+b^2-1)^2 + 4b^2} - (a^2+b^2) \right) \\ +\;\mathrm{i} \cdot \frac{\sgn{b}}{2} \cdot \operatorname{arcosh} & \!\left( \sqrt{(a^2+b^2-1)^2 + 4b^2} + (a^2+b^2) \right) \end{align}$ mit $a,b \in \mathbb{R}$

$\arccos(a+b\,\mathrm{i}) = \frac\pi2 - \arcsin(a+b\,\mathrm{i})$

Wobei in diesem Zusammenhang $\sgn{x} := \begin{cases} +1 & \; x\geq0 \\ -1 & \; x<0 \\ \end{cases}$

[Bearbeiten] Anmerkungen

[Bearbeiten] Besondere Werte

$x$	$- 1$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$arcsin(x)$	$-\frac{\pi}{2}$	$-\frac{\pi}{3}$	$-\frac{\pi}{4}$	$-\frac{\pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$

$x$	$- 1$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$arccos(x)$	$π$	$\frac{5 \pi}{6}$	$\frac{3 \pi}{4}$	$\frac{2 \pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$	$0$