Zobecněná hypotéza kontinua

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Zobecněná hypotéza kontinua (označovaná často zkratkou GCH z anglického Generalized Continuum Hypothesis) je matematická hypotéza z oboru teorie množin, konkrétněji z oboru kardinální aritmetiky.

[editovat] Formulace hypotézy

Zobecněnou hypotézu kontinua formuloval v roce 1908 Felix Hausdorff v následující podobě:

Pro každé ordinální číslo $\alpha \,\!$ platí:
$2^{\aleph_{\alpha}}=\aleph_{\alpha+1}$

Zobecněná hypotéza kontinua tedy v podstatě tvrdí, že neexistuje žádná mohutnost mezi kardinálním číslem $\aleph_{\alpha}$ a mohutností jeho potenční množiny $P(\aleph_{\alpha}) = 2^{\aleph_{\alpha}}$ .

Speciálně pro $\alpha = 0 \,\!$ dostáváme $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ , což není nic jiného, než Cantorova hypotéza kontinua (CH), která tvrdí, že nejmenší nespočetnou mohutností je mohutnost kontinua, tj. množiny reálných čísel.

[editovat] Řešení GCH

K.Gödel ukázal ve 40.letech 20.století, že GCH je bezesporná s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin (ZF) - to znamená, že v ZF nelze dokázat její opak. (Přesnější by bylo mluvit o relativní bezespornosti - pokud je bezesporná ZF, pak je bezesporná i ZF obohacená o GCH.)

K důkazu použil třídy tzv. konstruovatelných množin - jedná se vnitřní model teorie množin (pokud přijmeme navíc axiom konstruovatelnosti - tj. předpoklad, že všechny množiny jsou konstruovatelné), ve kterém lze dokázat GCH.

Zajímavým výsledkem z roku 1960 je, že z GCH vyplývá platnost axiomu výběru - to znamená, že teorie vzniklá ze ZF přijmutím GCH je přimejmenším stejně silná, jako ZFC.