Součinitel restituce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Odraz míče zachycený rychlostí 25 snímků za sekundu.

Součinitel (nebo koeficient) restituce (někdy také označovaný jako vzpruživost nebo koeficient vzpruživosti) je charakteristika rázu těles, která je definována jako záporně vzatý poměr relativních rychlostí těles po přímém rázu a relativních rychlostí před rázem.

Pro dokonale pružný ráz nabývá součinitel restituce hodnoty 1. Pro dokonale nepružný ráz má hodnotu 0. Ráz skutečných těles není ani dokonale pružný, ani zcela nepružný, ale nachází se někde mezi těmito krajními případy - takový ráz bývá označován jako nedokonale pružný nebo polopružný.

[editovat] Matematické vyjádření

Podle definice je součinitel restituce určen jako

$k = -\frac{v_r^\prime}{v_r} = \frac{v_2^\prime - v_1^\prime}{v_1-v_2}$ ,

kde $v 1$ je rychlost prvního tělesa před srážkou, $v 2$ je rychlost druhého tělesa před srážkou, $v_1^\prime$ je rychlost prvního tělesa po srážce, $v_2^\prime$ je rychlost druhého tělesa po srážce, $v r = v 1 - v 2$ je relativní rychlost těles před srážkou a $v_r^\prime = v_1^\prime - v_2^\prime$ je relativní rychlost těles po srážce.

V případě nepružné srážky je relativní rychlost těles po srážce nulová, tzn. $v_r^\prime = 0$ a součinitel restituce je tedy také nulový, tedy $k = 0$ .

V případě dokonale pružné srážky platí $v_1^\prime - v_2^\prime = v_2 - v_1$ , což znamená, že součinitel restituce je roven jedné, tzn. $k = 1$ .

Pro polopružný ráz nabývá součinitel restituce hodnot z intervalu $(0,1)$ .

[editovat] Vlastnosti

Tento součinitel závisí nejen na velikosti a tvaru těles, na látce ze které jsou složena, ale také na síle nárazu. S rostoucí relativní rychlostí součinitel restituce klesá. S klesající relativní rychlostí se postupně blíží k jedné. Pro dosti malé rychlosti se tedy všechna tělesa chovají jako dokonale pružná.

Vzhledem k tomu, že součinitel restituce závisí nejen na vlastnostech materiálu, ale také na tvaru těles a rychlostech přisrážce, nejedná se o materiálovou konstantu. Přestože součinitel restituce není materiálovou konstantou, lze jej pro tělesa obvyklých rozměrů a v jistém oboru rychlostí považovat za stálý. Ze zákona zachování hybnosti dostaneme pro rychlosti po rázu

$v_1^\prime = \frac{(m_1-km_2)v_1 + (1+k)m_2v_2}{m_1+m_2}$

$v_2^\prime = \frac{(m_2-km_1)v_2 + (1+k)m_1v_1}{m_1+m_2}$

kde $m 1, m 2$ jsou hmotnosti jednotlivých těles.

Součinitel restituce se měří tak, že se nechá dopadat ocelová kulička na měřený vzorek látky, který je umístěn na pevné podložce. Jednotlivé měřené materiály by měly mít přibližně stejnou tloušťku. Podložka je pevná, tekže její rychlost (a tedy i rychlost vzorku) před i po srážce lze pokládat za nulovou. Součinitel restituce se pak vyjádří jako

$k = -\frac{v^\prime}{v}$ ,

kde $v$ je rychlost dopadající kuličky před srážkou a $v^\prime$ je rychlost odražené kuličky po srážce.

Při zanedbání odporu prostředí lze rychlost $v$ dopadající kuličky určit z výšky $H$ , ze které byla kulička na vzorek vypuštěna. Podobně lze určit rychlost $v^\prime$ po odrazu na základě měření výšky $h$ , do níž kulička po odrazu vystoupá. Ze vztahů pro volný pád totiž platí výrazy

$v = \sqrt{2gH}$