Pozorovatelná veličina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V kvantové mechanice je výsledkem operace měření (tedy získání hodnoty nebo intervalu hodnot fyzikálního parametru, popř. obecněji získání informace o fyzikáním systému) získání určité informace o nějaké měřitelné veličině. Takováto veličina se pak označuje jako pozorovatelná (veličina).

[editovat] Matematická formulace

Každé pozorovatelné fyzikální veličině odpovídá lineární operátor, který je hermiteovský. Tento lineární operátor působí na stavové vektory daného Hilbertova prostoru, který charakterizuje zkoumaný systém (každý kvantový stav je reprezentován vektorem v tomto prostoru).

Působení operátoru pozorovatelné veličiny umožňuje rozložit určitý kvantový stav $|\psi\rangle$ , který představuje vektor Hilbertova prostoru, na lineární kombinaci čistých stavů, z nichž každý představuje stav, který lze získat jako možný výsledek měření veličiny.

Pokud jsou vektory čistých stavů příslušející operátoru $\hat{A}$ označeny jako $|\alpha_i\rangle$ , pak působením tohoto operátoru na stav $|\psi\rangle$ získáme

$\hat{A}\psi = \sum_i c_i\alpha_i$ ,

kde komplexní koeficienty $c i$ této lineární kombinace jsou určeny vztahem

$c_i = \langle\varphi|\alpha_i\rangle$

Tyto koeficienty vyjadřují pravděpodobnost, že čistý stav $|\alpha_i\rangle$ bude výsledkem operace měření v kvantovém stavu $|\psi\rangle$ , tzn.

$P = {|\langle\psi |\alpha_i\rangle|}^2$ ,

přičemž se předpokládá, že $|\psi\rangle$ i $|\alpha_i\rangle$ jsou normované.

Skupina vektorů čistých stavů $|\alpha_i\rangle$ se neliší od skupiny možných výsledků operace měření pozorovatelné veličiny.

Stavy, které lze získat po provedení měření, a které lze vyjádřit ve tvaru $|\phi\rangle = c_i |\alpha_i\rangle$ , se označují jako čisté stavy. Obecně však kvantové stavy nejsou čisté, ale smíšené. Po provedení operace měření se bude fyzikální systém nacházet v některém z čistých stavů.

Kvantový stav může být pro některou pozorovatelnou veličinu čistý a současně pro jinou pozorovatelnou veličinu smíšený. To se projevuje např. v Heisenbergově principu neurčitosti, podle kterého kvantový stav, který je v čistém stavu (a tedy je popsán jednou konkrétní hodnotou určité proměnné), může mít celou skupinu možných hodnot příslušejících jiné pozorovatelné veličině.

Dvě fyzikální veličiny daného systému lze současně měřit pouze tehdy, pokud operátory odpovídající těmto fyzikálním veličinám komutují.

[editovat] Vlastnosti operátoru pozorovatelné

Operátor $\hat{A}$ je lineární operátor. Tím je zajištěna platnost principu superpozice.
Vlastní hodnoty operátoru $\hat{A}$ , neboli výsledky možných výsledků operace měření, musí být reálná čísla. To znamená, že $\hat{A}$ je hermiteovský operátor.
Vektory vlastních (tedy čistých) stavů operátoru $\hat{A}$ musí být ortogonální. Pro pozorovatelnou veličinu je nutné, aby si po provedení operace měření zachovávala získanou hodnotu až do provedení dalšího měření. Tedy při opakované aplikaci stejného operátoru musíme získat stejnou hodnotu, což znamená, že pravděpodobnost nalezení jiného vlastního vektoru je nulová. To tedy znamená, že jednotlivé vlastní stavy jsou vzájemně ortogonální.
Vlastní stavy operátoru $\hat{A}$ musí tvořit bázi Hilbertova prostoru $\mathcal{H}$ . Tím je zajištěno, že každý kvantový stav (tedy libovolný vektor prostoru $\mathcal{H}$ ) je měřitelný operátorem $\hat{A}$ . Právě volbou báze jsou charakterizovány jednotlivé ppozorovatelné.
Vektory čistých stavů operátoru $\hat{A}$ musí být normalizované. Normalizace stavů souvisí s pravděpodobností pozorování těchto stavů.