Posloupnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Jako posloupnost se v matematice označuje (obvykle nekonečná) sekvence čísel, indexovaná přirozenými čísly - $a_1, a_2, a_3, \ldots$

Obecněji lze posloupnost chápat jako zobrazení, které každému přirozenému číslu přiřazuje prvek určité množiny $\mathbf{A}$ .

Členy posloupnosti mohou být čísla, pak hovoříme o číselné posloupnost (posloupnosti s konstantními členy), ale také funkce, pak hovoříme o funkčních posloupnostech. Číselná posloupnost je tedy posloupnost, která každému přirozenému číslu $n$ přiřazuje konstantu $a n$ , přičemž $a n$ závisí pouze na hodnotě $n$ . Funkční posloupnost je posloupnost, která každému přirozenému číslu $n$ přiřazuje funkci $f n (x)$ , přičemž hodnota n-tého členu funkční posloupnosti závisí nejen na pořadovém čísle $n$ , ale také na parametrech funkce $f n$ (v obecném případě nemusí jít o funkci jedné proměnné).

Posloupnost značíme obvykle $(a_n)_{n=1}^\infty$ , $(a n)$ nebo (pokud nemůže dojít k záměně s jiným značením) pouze $a n$ .

Posloupnost může být určena funkcí, která vyjadřuje n-tý člen posloupnost $a n$ pomocí $n$ , např. $a_n = \frac{n}{n+1}$ odpovídá posloupnosti $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \cdots$

Posloupnost může být také zadána rekurentní definicí, při níž jsou členy posloupnosti určeny prostřednictvím předcházejících členů. Příkladem rekurentního předpisu je $a 1 = 1, a 2 = 1, a n + 2 = a n + a n + 1$ . Rekurentní defenice probíhá následovně: Zadefinujeme počáteční člen $a n$ a pak zadefinujeme funkci f tak aby $a n + 1 = f (a n)$ .

[editovat] Vlastnosti

Posloupnost je

neklesající, pokud pro všechna i platí $a_i \ge a_{i-1}$ ,
nerostoucí, pokud pro všechna i platí $a_i \le a_{i-1}$ ,
rostoucí, pokud pro všechna i platí $a i > a i - 1$ ,
klesající, pokud pro všechna i platí $a i < a i - 1$ ,
zdola omezená v množině A, pokud existuje takové $L \in \mathit{A}$ , že pro všechna i platí $a_i \ge L$ ,
shora omezená v množině A, pokud existuje takové $K \in \mathit{A}$ , že pro všechna i platí $a_i \le K$ .

Je-li posloupnost nerostoucí nebo neklesající, říkáme, že je monotónní, pokud je rostoucí nebo klesající, je ryze monotónní.

Je-li posloupnost zároveň zdola i shora omezená, říkáme, že je omezená.

Jestliže se v libovolně malém $\varepsilon$ -okolí bodu d, tzn. v intervalu $(d-\varepsilon,d+\varepsilon)$ , nachází nekonečně mnoho členů posloupnosti $(a n)$ , pak bod d nazýváme hromadným bodem posloupnosti $(a n)$ .

[editovat] Limita

Podrobnější informace naleznete v článku Limita.

Říkáme, že posloupnost

konverguje (je to konvergentní posloupnost), má-li konečnou limitu (např. $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots$ konverguje k 0),
diverguje (je to divergentní posloupnost), má-li nekonečnou limitu (např. $1, 2, 3, \ldots$ diverguje k $\infty$ ), nebo nemá limitu, ale osciluje (např. $1, -1, 1, -1, \ldots$ ). Oscilující posloupnost je tedy také divergentní posloupnost.

[editovat] Vybraná posloupnost

Je-li $(a_n)_{n=1}^\infty$ posloupnost (obecně reálných) čísel a $(k_n)_{n=1}^\infty$ rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak výraz $(a_{k_n})_{n=1}^\infty$ nazýváme posloupnost vybraná (též podposloupnost) z $a n$ (jinými slovy, z $a n$ vyškrtneme některé členy, např. všechny liché).

Platí Bolzano-Weierstrassova věta: Je-li $(a n)$ omezená posloupnost v $\mathbb{R}$ , pak z ní lze vybrat posloupnost $\mathit(a_{k_n})$ , která je konvergentní