Metoda tečen
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Metoda tečen je iterační numerická metoda užívaná v numerické matematice k numerickému řešení soustav nelineárních rovnic. Nazývá se také Newtonova metoda (nebo Newton-Raphsonova metoda) a metodou tečen je označována, protože přesnější řešení rovnice f(x) = 0 je hledáno ve směru tečny funkce f(x).
Obsah |
[editovat] Popis algoritmu
Newtonova metoda tečen slouží k nalezení řešení rovnice f(x) = 0 za předpokladu, že známe derivaci funkce f'(x), tedy směrnici tečny. Pro jednoduchost dále předpokládejme, že x i f(x) jsou skaláry.
Dalším nezbytným předpokladem je znalost počáteční hodnoty x0, v jejíž blízkosti hledáme řešení. Pokud se funkce f(x) „chová rozumně“ (je spojitá, hladká a monotónní v intervalu, ve kterém hledáme řešení), lze očekávat řešení v místě, kde tečna sestrojená z bodu f(x0) protíná osu x. (Směrnice této tečny je f'(x0).) Tento průsečík označíme x1 a vypočteme jej podle následujícího vztahu.
Za splnění výše uvedených předpokladů by měla hodnota f(x1) být blíže nule než původní f(x0). Stejný postup můžeme opakovat a najít tak ještě přesnější hodnotu xk).
Iteraci provádíme tak dlouho, dokud hodnota f(xk) neleží dostatečně blízko nuly.
[editovat] Příklad: Výpočet druhé odmocniny
Úkolem je vypočítat druhou odmocninu kladného reálného čísla a.
Problém lze definovat také jako nalezení kořenu funkce (matematika) f(x) = x2 − a, neboli řešení rovnice f(x) = 0.
Vypočteme derivaci f'(x).
- f'(x) = 2x
Dosadíme do obecného vzorce a upravíme.
Získáváme tak rekurentní rovnici, u které jako počáteční podmínku můžeme zvolit x0 = a.
Výpočet (druhé odmocniny z devíti) bude podle výše uvedeného algoritmu probíhat následovně.
a = 9 x0 = 9 x1 = 5 x2 = 3.4 x3 = 3.02352941176471 x4 = 3.00009155413138 x5 = 3.00000000139698 x6 = 3.00000000000000 x7 = 3.00000000000000
Je vidět, že po několika málo krocích se hodnota xk nemění a ustálí se (konverguje) na hodnotě 3, což odpovídá správnému výsledku.
[editovat] Poznámky
[editovat] Aproximace derivace
Pokud známe pouze funkci f(x) a neznáme její derivaci f'(x), můžeme se pokusit derivaci nahradit numerickou derivací. Případně je možné řešit úlohu metodou sečen, která znalost derivace nevyžaduje.
[editovat] Vektory
Je-li funkce f(x) skalární funkcí vektorového argumentu („z vektoru vypočte skalár“), je nutné hledat xk+1 proti směru gradientu. Předpis pro iteraci lze potom napsat následovně.
Pokud je funkce f(x) vektorovou funkcí vektorového argumentu („z vektoru vypočte vektor“), lze předpis pro iteraci napsat následovně.
Matice J je takzvaná Jacobiho matice (nebo též jakobián) obsahující parciální derivace.
[editovat] Související články
- Fraktál Newton – fraktál generovaný Newtonovou metodou
- Linearizace – jedním ze způsobů linearizace je nahrazení části křivky její tečnou
[editovat] Externí odkazy
- Newtonova metoda: http://math.fce.vutbr.cz/vyuka/matematika/numericke_metody/node10.html
- Numerické metody, Metoda tečen: http://www.pef.zcu.cz/pef/kvd/cz/materialy/numet/_numet.html#_Toc501178905
- Polynomická algebra: http://class.pedf.cuni.cz/jancarik/Polynomy8.htm
- Řešení rovnic, Newtonova metoda: http://vydra.troja.mff.cuni.cz/bobo/fyzika/num3_metodanewtonova.cz