Linearizace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Linearizace (někdy také lineární aproximace) je nahrazení časti křivky (nebo průběhu funkce) přímkou. Jinak řečeno, jedná se o aproximaci lineární funkcí (jinak také polynomem prvního řádu).

V případě funkce více proměnných se jedná nahrazení části obecné plochy rovinou.

V diferenciálním počtu představuje linearizace nahrazení diferenciální rovnice v určitém rozsahu hodnot lineární diferenciální rovnicí.

Důvodem užití linearizace obvykle bývá zjednodušení navazujících výpočtů.

[editovat] Způsoby linearizace

Metoda provedení linearizace závisí na důvodu jejího použití.

• Pokud je cílem zjištění přibližné hodnoty funkce v blízkém okolí známého bodu, provádí se obvykle nahrazení funkce její tečnou ve známém bodu. (K určení rovnice tečny se užívá derivace.)

• Pokud je cílem stanovení přibližné rovnice z experimentálně získaných hodnot, používá se obvykle lineární regrese, která je jednou z aplikací metody nejmenších čtverců.

[editovat] Příklad: Přibližný výpočet e^0,01

Úkolem je přibližně určit hodnotu funkce f(x) = e^x (e představuje Eulerovo číslo, základ přirozeného logaritmu) pro x = 0,01, přičemž je známá hodnota funkce v bodu x₀ = 0 (f(x₀) = f(0) = e⁰ = 1) a dále je známá první derivace (f'(x) = e^x), která je v bodě x₀ rovna f'(x₀) = e⁰ = 1.

Funkci f(x) nahradíme v blízkém okolí bodu x₀ tečnou, jejíž směrnice je určena první derivací. Rovnice tečny bude následující. (Viz také Taylorův polynom.)

Odtud již není problém vypočítat místo hodnoty f(x) pouze přibližnou hodnotu z rovnice tečny y(x).

Pokud vypočtenou hodnotu 1,01 porovnáme s přesněji vypočtenou hodnotou , vidíme, že chyba provedeného přibližného odhadu je velmi nízká. (Viz také absolutní chyba a relativní chyba.)

[editovat] Související články

• Lineární funkce
• Lineární regrese