Centrální limitní věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Centrální limitní věta v teorii pravděpodobnosti označuje tvrzení, podle něhož (za určitých podmínek diskutovaných níže) rozdělení výběrového průměru po vhodné normalizaci blíží k normálnímu rozdělení. O náhodné veličině s uvedeným chováním říkáme, že má asymptoticky normální rozdělení.

Centrální limitní větu lze vyjádřit různými způsoby.

K důkazu se dnes nejčastěji používají charakteristické funkce.

[editovat] Moivreova-Laplaceova věta

Nejjednodušším vyjádřením centrální limitní věty je Moivreova-Laplaceova věta. Podle této věty platí, že pokud součtem $n\,\!$ nezávislých náhodných veličin $X_i\,\!$ s alternativním rozdělením (s parametrem $\pi\,\!$ ) vytvoříme veličinu $X\,\!$ , která má binomické rozdělení s parametry $n\,\!$ a $\pi\,\!$ , pak pro normovanou náhodnou veličinu

$U = \frac{X-n\pi}{\sqrt{n\pi (1-\pi)}}\,\!$

platí vztah

$\lim_{n\to\infty} P(U<u) = \Phi(u)\,\!$

pro $-\infty<u<\infty\,\!$ , kde $\Phi(u)\,\!$ je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení $\operatorname{N}(0,1)\,\!$ .

Podle Moivreovy-Laplaceovy věty tedy při velkém počtu nezávislých pokusů konverguje binomické rozdělení k rozdělení normálnímu.

[editovat] Lévyho-Lindebergova věta

Moivreovu-Laplaceovu větu lze zobecnit na větu Lévyho-Lindebergovu. Pokud je podle této věty náhodná veličina $X\,\!$ součtem $n\,\!$ vzájemně nezávislých náhodných veličin $X_1, X_2, ..., X_n\,\!$ se shodným rozdělením libovolného typu, s konečnou střední hodnotou $\operatorname{E}(X_i)=\mu\,\!$ a konečným rozptylem $D(X_i)=\sigma^2\,\!$ , pak pro normovanou náhodnou veličinu

$U = \frac{X-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\,\!$

platí opět vztah

$\lim_{n\to\infty} P(U<u) = \Phi(u)\,\!$

pro $-\infty<u<\infty\,\!$ , kde $\Phi(u)\,\!$ je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení $\operatorname{N}(0,1)\,\!$ . Veličina $U\,\!$ má tedy asymptoticky normální rozdělení.

Porovnejte toto chování se zákonem velkých čísel, který pro tento případ dává

$Y = \frac{X-n\mu}{n} = \frac{\sum_{i=1}^n \left(X_i-\operatorname{E}(X_i)\right)}{n} \to 0\,\!$ skoro jistě.

[editovat] Ljapunovova věta

Nejobecnějším vyjádřením centrální limitní věty pro součet nezávislých náhodných veličin je věta Ljapunovova. Ta říká, že rozdělení součtu vzájemně nezávislých veličin $X_i\,\!$ konverguje k normálnímu rozdělení i v případě, že veličiny $X_i\,\!$ nemají stejné rozdělení pravděpodobnosti.

Nechť náhodná veličina $X\,\!$ je součtem vzájemně nezávislých veličin $X_i\,\!$ , které mají konečné střední hodnoty $\operatorname{E}(X_i) < \infty \,\!$ a konečné třetí centrální momenty $\operatorname{E}\left({\left|X_i-\operatorname{E}(X_i)\right|}^3\right) < \infty\,\!$ . Nechť dále platí Ljapunovova podmínka

$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[3]{\sum_{i=1}^n \operatorname{E}\left({\left|X_i-\operatorname{E}(X_i)\right|}^3\right)}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n D(X_i)}} = 0\,\!$ .