Mínim comú múltiple
De Viquipèdia
El mínim comú múltiple (m.c.m.) de dos o més nombres enters és, a menys del signe, el menor nombre enter que és múltiple de tots ells.
Taula de continguts |
[edita] Generalitats
- El mètode general per calcular el mínim comú múltiple de dos o més nombres consisteix en descompondre els nombres en factors primers i després prendre els factors comuns amb el major exponent amb que apareguin i els factors no comuns també amb el seu major exponent. Multiplicant tots aquest factors trobem el m.c.m.
Per exemple, de les factoritzacions de 6936 i 1200,
- 6936 = 23 · 3 · 172
- 1200 = 24 · 3 · 52
podem inferir que el seu m.c.m. és 24 · 3 · 52 · 172 = 346 800.
- Coneixent el màxim comú divisor de dos nombres, es pot calcular el mínim comú múltiple d'ells, que serà el producte d'ambdós dividit entre el seu màxim comú divisor.
[edita] Propietats
Les propietats del m.c.m. són, en certa forma, duals de les del màxim comú divisor:
- Qualsevol múltiple comú a a i b és un múltiple de m.c.m.(a,b).
- m.c.m.(a, b) = m.c.m.(|a|, |b|).
- m.c.m.(a, b) = m.c.m.(b, a).
- m.c.m.(a, 0) = 0.
- m.c.m.(a, a) = a.
- m.c.m.(a, m.c.m.(b, c)) = m.c.m.(m.c.m.(a, b), c), cosa que permet calcular el m.c.m. de tres o més nombres.
- El mínim comú múltiple de dos nombres i el màxim comú divisor estan lligats per la relació: m.c.d.(a, b)·mcm(a, b) = |ab|.
- Si a i b són coprimers, aleshores m.c.m.(a, b) = |ab|
[edita] Usos
El m.c.m. s'empra per a sumar fraccions de distint denominador, per exemple,
[edita] El m.c.m. als anells principals
Si A és un anell principal i I i J en són ideals, l'ideal intersecció dels ideals I i J és l'ideal mínim comú múltiple dels ideals I i J..
