三角恒等式

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角 θ 的所有三角函数可以在几何上依据以 O 为中心的单位圆来构造。

在数学中，三角恒等式是对出现的变量的所有值都为真的涉及到三角函数的等式。这些恒等式在表达式中有些三角函数需要简化的时候是很有用的。一个重要应用是非三角函数的积分: 一个常用技巧是首先使用使用三角函数的代换规则，则通过三角恒等式可简化结果的积分。

[编辑] 符号

单位圆

为了避免由于 sin⁻¹(x) 的歧义而带来的混淆，三角函数的倒数和反函数经常如下表中这样表示。在余割函数的表示中，长形式的 'cosec' 有时用来替代 'csc'。

函数		反函数		倒数		倒数的反函数
sine	sin	arcsine	arcsin	cosecant	csc	arccosecant	arccsc
cosine	cos	arccosine	arccos	secant	sec	arcsecant	arcsec
tangent	tan	arctangent	arctan	cotangent	cot	arccotangent	arccot

不同的角度度量适合于不同的情况。本表展示最常用的系统。弧度是缺省的角度量并用在指数函数中。所有角度度量都是无单位的。

度	30	45	60	90	120	180	270	360
弧度	$π / 6$	$π / 4$	$π / 3$	$π / 2$	$2π / 3$	$π$	$3π / 2$	$2π$
Grad	33 ⅓	50	66 ⅔	100	133 ⅓	200	300	400

[编辑] 基本关系

毕达哥拉斯三角恒等式	$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,$
比率恒等式	$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

从上述两个恒等式，可外推出下列表格。

每个三角函数用其他五个来表达。
函数	sin	cos	tan	csc	sec	cot
$sinθ =$	$\sin \theta\$	$\sqrt{1 - \cos^2\theta}$	$\frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}$	$\frac{1}{\csc \theta}$	$\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}$	$\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}}$
$cosθ =$	$\sqrt{1 - \sin^2\theta}$	$\cos \theta\$	$\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$	$\frac{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}{\csc \theta}$	$\frac{1}{\sec \theta}$	$\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}$
$tanθ =$	$\frac{\sin\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}}$	$\frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta}$	$\tan \theta\$	$\frac{1}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}$	$\sqrt{\sec^2\theta - 1}$	$\frac{1}{\cot \theta}$
$cscθ =$	${1 \over \sin \theta}$	${1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}}$	${\sqrt{1 + \tan^2\theta} \over \tan \theta}$	$\csc \theta\$	${\sec \theta \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\sqrt{1 + \cot^2 \theta}$
$secθ =$	${1 \over \sqrt{1 - \sin^2\theta}}$	${1 \over \cos \theta}$	$\sqrt{1 + \tan^2\theta}$	${\csc\theta \over \sqrt{\csc^2\theta - 1}}$	$\sec\theta\$	${\sqrt{1 + \cot^2\theta} \over \cot \theta}$
$cotθ =$	${\sqrt{1 - \sin^2\theta} \over \sin \theta}$	${\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}}$	${1 \over \tan\theta}$	$\sqrt{\csc^2\theta - 1}$	${1 \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\cot\theta\$

[编辑] 对称、移位和周期

通过检视单位圆，可确立三角函数的下列性质。

[编辑] 对称

当三角函数反射自某个特定的 $θ$ 值，结果经常是另一个其他三角函数。这导致了下列恒等式:

反射于 $θ = 0$	反射于 $θ = π / 2$	反射于 $θ = π$
$\begin{align} \sin(0-\theta) &= -\sin \theta \\ \cos(0-\theta) &= +\cos \theta \\ \tan(0-\theta) &= -\tan \theta \\ \csc(0-\theta) &= -\csc \theta \\ \sec(0-\theta) &= +\sec \theta \\ \cot(0-\theta) &= -\cot \theta \end{align}$	$\begin{align} \sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\ \cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\ \tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cot \theta \\ \csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sec \theta \\ \sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\csc \theta \\ \cot(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta \end{align}$	$\begin{align} \sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\ \cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\ \tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\ \csc(\pi - \theta) &= +\csc \theta \\ \sec(\pi - \theta) &= -\sec \theta \\ \cot(\pi - \theta) &= -\cot \theta \\ \end{align}$

[编辑] 移位和周期

通过旋转特定角度移位三角函数，经常可以找到更简单的表达结果的不同的三角函数。例如通过旋转π/2、π和2π弧度移位函数。因为这些函数的周期要么是π要么是2π，新函数和没有移位的旧函数完全一样。

移位 π/2	移位 π tan 和 cot 的周期	移位 2π sin, cos, csc 和 sec 的周期
$\begin{align} \sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\ \cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\ \tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\ \csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta \\ \sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\ \cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta \end{align}$	$\begin{align} \sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\ \cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\ \tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\ \csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta \\ \sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\ \cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\ \end{align}$	$\begin{align} \sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\ \cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\ \tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\ \csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta \\ \sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\ \cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta \end{align}$

[编辑] 角的和差恒等式

它们也叫做“和差定理”或“和差公式”。最快的证明方式是欧拉公式。

正弦	$\sin(\theta \pm \phi) = \sin \theta \cos \phi \pm \cos \theta \sin \phi \,$	注意正负号的对应。 $\begin{align}x \pm y = a \pm b &\Rightarrow \ x + y = a + b \\ &\mbox{and} \ x -y = a -b \end{align}$ $\begin{align} x \pm y = a \mp b &\Rightarrow \ x + y = a - b \\ &\mbox{and}\ x - y = a + b\end{align}$
余弦	$\cos(\theta \pm \phi) = \cos \theta \cos \phi \mp \sin \theta \sin \phi\,$
正切	$\tan(\theta \pm \phi) = \frac{\tan \theta \pm \tan \phi}{1 \mp \tan \theta \tan \phi}$

[编辑] 正弦与余弦的无限多项和

$\sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right) =\sum_{\mathrm{odd}\ k \ge 1} (-1)^{(k-1)/2} \sum_{ |A| = k } \left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)$

$\cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right) =\sum_{\mathrm{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^{k/2} ~~ \sum_{ |A| = k } \left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)$

这里的 "|A| = k" 意味着索引 A 遍历集合 { 1, 2, 3, ... } 的大小为 k 的所有子集的集合。

在这两个恒等式中出现了在有限多项中不出现的不对称: 在每个乘积中，只有有限多个正弦因子和 cofinite 多个余弦因子。

如果只有有限多项 θ_i 是非零，则在右边只有有限多项是非零，因为正弦因子将变为零，而在每个项中，所有却有限多的余弦因子将是单位一。

[编辑] 正切的有限多项和

设 x_i = tan(θ_i )，对于 i = 1, ..., n。设 e_k 是变量 x_i, i = 1, ..., n, k = 0, ..., n 的 k 次基本对称多项式。则

$\tan(\theta_1+\cdots+\theta_n) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots},$

项的数目依赖于 n。例如，

$\begin{align} \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) &{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2} = \frac{(x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3)}{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)}, \\ \\ \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) &{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2 + e_4} \\ \\ &{}= \frac{(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4)}{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4)},\end{align}$

并以此类推。一般情况可通过数学归纳法证明。

[编辑] 多倍角公式

T_n 是 n 次切比雪夫多项式	$\cos n\theta =T_n \cos \theta \,$
S_n 是 n 次伸展多项式	$\sin^2 n\theta = S_n \sin^2\theta\,$
棣美弗定理， $i$ 是虚单位	$\cos n\theta +i\sin n\theta=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n \,$

参见Dirichlet kernel。

[编辑] 二倍、三倍和半角公式

它们可以使用和差恒等式或多倍角公式来证明。

二倍角公式
$\begin{align} \sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$	$\begin{align} \cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ &= 1 - 2 \sin^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$
$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\,$	$\cot 2\theta = \frac{\cot \theta - \tan \theta}{2}\,$
三倍角公式
$\sin 3\theta = 3 \sin \theta- 4 \sin^3\theta \,$	$\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta \,$
$\tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}$
半角公式
$\cos \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$	$\sin \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$
$\tan \tfrac{\theta}{2} = \csc \theta - \cot \theta$	$\cot \tfrac{\theta}{2} = \csc \theta + \cot \theta$
$\begin{align} \tan \tfrac{\theta}{2} &= \frac{\sin \tfrac{\theta}{2}}{\cos \tfrac{\theta}{2}} \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \end{align}$	$\begin{align} \tan \tfrac{\theta}{2} &= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\ &= \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\end{align}$

参见正切半角公式，它也叫做“万能公式”。

[编辑] 幂简约公式

从解余弦二倍角公式的第二和第三版本得到。

正弦	$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$	$\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}$
余弦	$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$	$\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}$
其他	$\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}$

[编辑] 积化和差与和差化积恒等式

數學家韋達在其三角學著作《應用於三角形的數學定律》給出积化和差与和差化积恒等式。积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

积化和差
$\cos \theta \cos \phi = {\cos(\theta - \phi) + \cos(\theta + \phi) \over 2}$
$\sin \theta \sin \phi = {\cos(\theta - \phi) - \cos(\theta + \phi) \over 2}$
$\sin \theta \cos \phi = {\sin(\theta + \phi) + \sin(\theta - \phi) \over 2}$
$\cos \theta \sin \phi = {\sin(\theta + \phi) - \sin(\theta - \phi) \over 2}$

和差化积
$\sin \theta + \sin \phi = 2 \sin\left( \frac{\theta + \phi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \phi}{2} \right)$
$\cos \theta + \cos \phi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \phi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \phi}{2} \right)$
$\cos \theta - \cos \phi = -2\sin\left( {\theta + \phi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \phi \over 2}\right)$
$\sin \theta - \sin \phi = 2 \cos\left({\theta + \phi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \phi\over 2}\right) \;$

[编辑] 其他有关恒等式

如果 x, y 和 z 是任何三角形的三个角，换句话说

$\mbox{if }x + y + z = \pi = \mbox{half circle,}\,$

$\mbox{then }\tan(x) + \tan(y) + \tan(z) = \tan(x)\tan(y)\tan(z).\,$

(如果 x, y, z 任何一个是直角，则两端都应为 ∞。)

$\mbox{If }x + y + z = \pi = \mbox{half circle,}\,$

$\mbox{then }\sin(2x) + \sin(2y) + \sin(2z) = 4\sin(x)\sin(y)\sin(z).\,$

[编辑] 托勒密定理

$\mbox{If }w + x + y + z = \pi = \mbox{half circle,} \,$

$\begin{align} \mbox{then } & \sin(w + x)\sin(x + y) \\ &{} = \sin(x + y)\sin(y + z) \\ &{} = \sin(y + z)\sin(z + w) \\ &{} = \sin(z + w)\sin(w + x) = \sin(w)\sin(y) + \sin(x)\sin(z). \end{align}$

(前三个等式是平凡的；第四个是这个恒等式的实质。) 本质上这是使用三角学语言的托勒密定理。

[编辑] 线性组合

对于某些用途，知道同样周期但不同相位移动的正弦波的任何线性组合是有相同周期但不同相位移动的正弦波是重要的。在正弦和余弦波的线性组合的情况下，我们有

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)\,$

这里的

$\varphi = \arctan \left(\frac{b}{a}\right)$

更一般的说，对于任何相位移动，我们有

$a\sin x+b\sin(x+\alpha)= c \sin(x+\beta)\,$

这里

$c = \sqrt{a^2 + b^2 +2ab\cos \alpha},$

而

$\beta = {\rm arctan} \left(\frac{b\sin \alpha}{a + b\cos \alpha}\right).$

[编辑] 反三角函数

$\arcsin(x)+\arccos(x)=\pi/2\;$

$\arctan(x)+\arccot(x)=\pi/2.\;$

$\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{if }x > 0 \\ -\pi/2, & \mbox{if }x < 0 \end{matrix}\right.$

$\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)+\left\{\begin{matrix} \pi, & \mbox{if }x,y>0 \\ -\pi, & \mbox{if }x,y<0 \\ 0, & \mbox{otherwise } \end{matrix}\right.$

$\sin[\arccos(x)]=\sqrt{1-x^2} \,$

$\sin[\arctan(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

$\cos[\arctan(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,$

$\tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$

[编辑] 无限乘积公式

为了用于特殊函数，有下列三角函数无限乘积公式:

$\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)$

$\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

$\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

[编辑] 微积分

在微积分中，下面陈述的关系要求角用弧度来度量；如果用其他方式比如角度来这些关系会变得更加复杂。如果三角函数以几何的方式来定义，它们的倒数可以通过验证两个极限而找到。第一个是:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1,$

使用单位圆和夹挤定理来验证。使用洛必达法则来确立这个极限的建议是诱人的。但是，如果你使用这个极限来证明正弦的导数是余弦，并因此在应用洛必达法则中使用正弦的导数是余弦的事实，就是逻辑谬论中的循环论证了。第二个极限是:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)}{x}=0,$

使用恒等式 tan(x/2) = (1 − cos(x))/sin(x) 验证。已经确立了这两个极限，你可以使用导数的极限定义和加法定理来证明 sin′(x) = cos(x) 和 cos′(x) = −sin(x)。如果正弦和余弦函数用它们的泰勒级数来定义，则导数可以通过幂级数逐项微分得到。

${d \over dx}\sin(x) = \cos(x)$

结果的三角函数可以使用上述恒等式和微分规则来做微分。

$\begin{matrix} {d \over dx} \sin x =& \cos x ,& {d \over dx} \arcsin x =& {1 \over \sqrt{1 - x^2} } \\ \\ {d \over dx} \cos x =& -\sin x ,& {d \over dx} \arccos x =& {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \\ \\ {d \over dx} \tan x =& \sec^2 x ,& {d \over dx} \arctan x =& { 1 \over 1 + x^2} \\ \\ {d \over dx} \cot x =& -\csc^2 x ,& {d \over dx} \arccot x =& {-1 \over 1 + x^2} \\ \\ {d \over dx} \sec x =& \tan x \sec x ,& {d \over dx} \arcsec x =& { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \\ \\ {d \over dx} \csc x =& -\csc x \cot x ,& {d \over dx} \arccsc x =& {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \end{matrix}$

在三角函数积分表中可以找到积分恒等式。

[编辑] 蕴涵

三角函数(正弦和余弦)的微分是同样两个函数线性组合的事实在很多数学领域包括微分方程和傅立叶变换中是重要的基本原理。

[编辑] 指数定义

函数	反函数
$\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \,$	$\arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,$
$\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \,$	$\arccos x = -i \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,$
$\tan \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} \,$	$\arctan x = \frac{i \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right)}{2} \,$
$\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,$	$\arccsc x = -i \ln \left(\tfrac{i}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}\right) \,$
$\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} \,$	$\arcsec x = -i \ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{i}{x^2}}\right) \,$
$\cot \theta = \frac{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,$	$\arccot x = \frac{i \ln \left(\frac{i - x}{i + x}\right)}{2} \,$

$\operatorname{cis} \, \theta = e^{i\theta} \,$	$\operatorname{arccis} \, x = \frac{\ln x}{i} \,$