Tożsamości trygonometryczne

Z Wikipedii

Tożsamości trygonometryczne to podstawowe zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi.

Spis treści

1 Tożsamości pitagorejskie
2 Okresowość funkcji
3 Definicje tangensa i cotangensa
4 Przedstawienia przy pomocy funkcji cosinus
5 Przedstawienia przy pomocy funkcji sinus
6 Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych
7 Zależności pomiędzy funkcjami a kofunkcjami
8 Odwrotności
9 Funkcje sumy i różnicy kątów
10 Funkcje wielokrotności kątów
11 Funkcje kąta połówkowego
12 Suma i różnica funkcji
13 Iloczyn w postaci sumy
14 Potęgi w postaci sumy
15 Funkcje trygonometryczne wyrażone przy pomocy tangensa połowy kąta
16 Wzory Eulera
17 Inne zależności między funkcjami trygonometrycznymi
18 Zobacz też

[edytuj] Tożsamości pitagorejskie

Zobacz więcej w osobnym artykule: jedynka trygonometryczna.

Wzór

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \,$ ,

jest prawdziwy dla dowolnej liczby rzeczywistej (a nawet zespolonej, przy przyjęciu ogólniejszych definicji). Tożsamość ta uznawana jest za podstawową tożsamość trygonometryczną. Zwana często jedynką trygonometryczną bądź trygonometrycznym twierdzeniem Pitagorasa. Istnieją również dwie inne wariacje tego wzoru:

$\sec^2 x - \mbox{tg}^2 x = 1\;$

$\csc^2 x - \mbox{ctg}^2 x = 1\;$

[edytuj] Okresowość funkcji

Funkcje trygonometryczne są okresowe $(k \in \mathbb{Z})$ :

$\begin{array}{l l}\sin x = \sin(x + 2k \pi) & \mbox{tg } x = \mbox{tg } (x + k \pi) \\\cos x = \cos(x + 2k \pi) & \mbox{ctg } x = \mbox{ctg } (x + k \pi)\end{array}$

[edytuj] Definicje tangensa i cotangensa

$\mbox{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}$

$\mbox{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$

[edytuj] Przedstawienia przy pomocy funkcji cosinus

$|\sin x| = \sqrt {1- \cos^2 x}$

$|\mbox{tg } x| = \frac{|\sin x|}{|\cos x|} = \frac {\sqrt {1- \cos^2 x}} {|\cos x|}$

$|\mbox{ctg } x| = \frac{|\cos x|}{|\sin x|} = \frac {|\cos x|} {\sqrt {1- \cos^2 x}}$

[edytuj] Przedstawienia przy pomocy funkcji sinus

$|\cos x| = \sqrt {1- \sin^2 x}$

$|\mbox{tg } x| = \frac{|\sin x|}{|\cos x|} = \frac {|\sin x|} {\sqrt {1- \sin^2 x}}$

$|\mbox{ctg } x| = \frac{|\cos x|}{|\sin x|} = \frac {\sqrt {1- \sin^2 x}} {|\sin x|}$

[edytuj] Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych

$\begin{array}{l l}\sin (-x) = -\sin(x) & \mbox{tg }(-x) = -\mbox{tg } x \\\cos (-x) = \cos x & \mbox{ctg } (-x) = -\mbox{ctg } x\end{array}$

sinus, tangens, cotangens i cosecans są funkcjami nieparzystymi
cosinus i secans są funkcjami parzystymi

[edytuj] Zależności pomiędzy funkcjami a kofunkcjami

Równości

$\begin{array}{l l}\sin x = \cos (\frac{\pi}{2} - x) & \cos x = \sin (\frac{\pi}{2} - x) \\\mbox{tg } x = \mbox{ctg } (\frac{\pi}{2} -x) & \mbox{ctg } x = \mbox{tg } (\frac{\pi}{2} - x)\\ \sec x = \csc (\frac{\pi}{2} - x) & \csc x = \sec (\frac{\pi}{2} - x) \end{array}$

nazywa się związkami pomiędzy funkcjami a ich kofunkcjami. Kofunkcją sinusa jest cosinus, cosinusa sinus, tangensa cotangens itd.

[edytuj] Odwrotności

Funkcje trygonometryczne można układać w pary wg. kofunkcji lub wg odwrotności. Odwrotnością sinusa jest cosecans, cosinusa secans, tangensa cotangens (i oczywiście na odwrót):

$\begin{array}{l l}\sin x= \frac{1}{\csc x} & \csc x= \frac{1}{\sin x} \\ \\ \cos x= \frac{1}{\sec x} & \sec x= \frac{1}{\cos x} \\ \\ \mbox{tg } x= \frac{1}{\mbox{ctg }x} & \mbox{ctg } x= \frac{1}{\mbox{tg }x}\end{array}$

[edytuj] Funkcje sumy i różnicy kątów

$\sin (x \pm y) = \sin x \cdot \cos y \pm \cos x \cdot \sin y \,$

$\cos (x \pm y) = \cos x \cdot \cos y \mp \sin x \cdot \sin y \,$

$\mbox{tg } (x \pm y) = \frac{\mbox{tg } x \pm \mbox{tg } y}{1 \mp \mbox{tg } x \cdot \mbox{tg } y}$

$\mbox{ctg } (x \pm y) = \frac{\mbox{ctg } x \cdot \mbox{ctg } y \mp 1}{\mbox{ctg } y \pm \mbox{ctg } x}$

[edytuj] Funkcje wielokrotności kątów

Wzory na dwukrotność kąta otrzymuje się przez podstawienie $y = x$ we wzorach na funkcje sumy kątów.

$\sin (2 x) = 2 \sin x \cdot \cos x \,$

$\left.\cos (2 x) = \cos^2x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x = 2\cos^2x - 1 \right.$

$\mbox{tg } (2 x) = \frac{2 \mbox{tg } x}{1 - \mbox{tg }^2 x}$

$\mbox{ctg } (2 x) = \frac{\mbox{ctg } x - \mbox{tg } x}{2} = \frac{\mbox{ctg }^2 x - 1}{2 \mbox{ctg } x}$

$\sin (3 x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x \,$

$\cos (3 x) = 4\cos^3x - 3 \cos x \,$

$\mbox{tg } (3 x) = \frac{3 \mbox{tg } x - \mbox{tg }^3 x}{1 - 3\mbox{tg }^2 x}$

$\mbox{ctg } (3x) = \frac {\mbox{ctg }^3 x - 3 \mbox{ctg } x}{3 \mbox{ctg }^2 x -1}$

$\sin (4 x) = 8 \cos^3 x \sin x - 4 \cos x\sin x\,$

$\cos (4 x) = 8\cos^4x - 8 \cos^2 x+1 \,$

$\mbox{tg } (4 x) = \frac{4 \mbox{tg } x - 4 \mbox{tg }^3 x}{1 - 6\mbox{tg }^2 x+\mbox{tg }^4 x}$

$\mbox{ctg } (4 x) = \frac{\mbox{ctg }^4 x - 6 \mbox{ctg }^2 x+1}{4\mbox{ctg }^3 x-4\mbox{ctg } x}$

Ogólnie:

$\sin (nx)=\sum^\infty_{i=0} (-1)^i\cdot{n\choose2i+1}\cos^{n-2i-1}x\sin^{2i+1}x=\sum^{\lfloor{n\over 2}\rfloor}_{i=0} (-1)^i\cdot{n\choose2i+1}\cos^{n-2i-1}x\sin^{2i+1}x=$

$=n\cos^{n-1} x \sin x-{n \choose 3}\cos^{n-3} x \sin^3 x+{n \choose 5}\cos^{n-5} x \sin^5 x-{n \choose 7}\cos^{n-7} x \sin^7 x+\dots$

$\cos (nx)=\sum^\infty_{i=0} (-1)^i\cdot{n\choose2i}\cos^{n-2i}x\sin^{2i}x=\sum^{\lfloor{n\over 2}\rfloor}_{i=0} (-1)^i\cdot{n\choose2i}\cos^{n-2i}x\sin^{i}x=$

$=\cos^n x-{n \choose 2}\cos^{n-2} x \sin^2 x+{n \choose 4}n\cos^{n-4} x \sin^4 x-{n \choose 6}n\cos^{n-6} x \sin^6 x+\dots$

[edytuj] Funkcje kąta połówkowego

$\left| \sin\frac{1}{2}x \right|=\sqrt{\frac{1-cos x}{2}}$

$\left| \cos\frac{1}{2}x \right|=\sqrt{\frac{1+cos x}{2}}$

$\left| \operatorname{tg}\frac{1}{2}x \right|=\sqrt{\frac{1-cos x}{1+cos x}}$

$\operatorname{tg}\frac{1}{2}x =\frac{1-cos x}{sin x}=\frac{sin x}{1+cos x}$

$\left| \operatorname{ctg}\frac{1}{2}x \right|=\sqrt{\frac{1+cos x}{1-cos x}}$

$\operatorname{ctg}\frac{1}{2}x=\frac{1+cos x}{sin x}=\frac{sin x}{1-cos x}$

[edytuj] Suma i różnica funkcji

$\sin x \pm \sin y = 2 \sin \frac {x \pm y} 2 \cdot \cos \frac {x \mp y } 2$

$\cos x + \cos y = 2 \cos \frac {x + y} 2 \cdot \cos \frac {x - y } 2$

$\cos x - \cos y = -2 \sin \frac {x + y} 2 \cdot \sin \frac {x - y } 2$

$\operatorname{tg}x\pm \operatorname{tg}y=\frac{\sin(x\pm y)}{\cos x\cos y}$

$\operatorname{tg}x+ \operatorname{ctg}y=\frac{\cos(x-y)}{\cos x\sin y}$

$\operatorname{ctg}x\pm \operatorname{ctg}y=\pm \frac{\sin(x\pm y)}{\sin x\sin y}$

$\operatorname{ctg}x- \operatorname{tg}y=\frac{\cos(x+y)}{\sin x\cos y}$

$1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac x 2$

$1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac x 2$

$1 - \sin x = 2 \sin^2\left ( \frac{1}{4}\pi -\frac{1}{2} x\right) =2\cos^2\left(\frac{1}{4}\pi+\frac{1}{2}x\right)$

$1 + \sin x = 2 \cos^2\left ( \frac{1}{4}\pi -\frac{1}{2} x\right) =2\sin^2\left(\frac{1}{4}\pi+\frac{1}{2}x\right)$

[edytuj] Iloczyn w postaci sumy

$\cos x \cdot \cos y = \frac{\cos (x - y) + \cos (x + y)} 2$

$\sin x \cdot \sin y = \frac{\cos (x - y) - \cos (x + y)} 2$

$\sin x \cdot \cos y = \frac{\sin (x - y) + \sin (x + y)} 2$

$\sin x \cdot \cos x = \frac{\sin (2x)} 2$

$\sin x \cdot \sin y \cdot \sin z = \frac{\sin(x+y-z)+\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)-\sin(x+y+z)} 4$

$\sin x \cdot \sin y \cdot \cos z = \frac{-\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)+\cos(x+y+z)} 4$

$\sin x \cdot \cos y \cdot \cos z = \frac{\sin(x+y-z)-\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)-\sin(x+y+z)} 4$

$\cos x \cdot \cos y \cdot \cos z = \frac{\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)+\cos(x+y+z)} 4$

[edytuj] Potęgi w postaci sumy

$\sin^2 x = {1 - \cos(2x) \over 2}$

$\cos^2 x = {1 + \cos(2x) \over 2}$

$\sin^2 x \cos^2 x = {1 - \cos(4 x) \over 8}$

$\sin^3 x = \frac{3 \sin x - \sin(3 x)}{4}$

$\cos^3 x = \frac{3 \cos x + \cos(3 x)}{4}$

$\sin^4 x = \frac{\cos(4x) - 4\cos(2x)+3}{8}$

$\cos^4 x = \frac{\cos(4x) + 4\cos(2x)+3}{8}$

$\sin^2 x - \sin^2 y = \sin (x + y) \cdot \sin (x - y)$

[edytuj] Funkcje trygonometryczne wyrażone przy pomocy tangensa połowy kąta

$\sin x=\frac{2 \mbox{tg}\frac{x}{2}}{1+\mbox{tg}^2\frac{x}{2}}$

$\cos x=\frac{1-\mbox{tg}^2\frac{x}{2}}{1+\mbox{tg}^2\frac{x}{2}}$ ,

$\mbox{tg} x=\frac{2\mbox{tg}\frac{x}{2}}{1-\mbox{tg}^2\frac{x}{2}}$

Powyższe tożsamości znalazły zastosowanie w tzw. podstawieniu uniwersalnym, stosowanym przy całkowaniu nieoznaczonym całek typu $\int R(\sin x, \cos x, \mbox{tg} x)dx$ , gdzie $R (u, v, w)$ jest funkcją wymierną zmiennych $u, v, w$ . Stosuje się podstawienie:

$\mbox{tg}\frac{x}{2}=t$

$x=2\operatorname{arctg}\;t$

$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$ .

[edytuj] Wzory Eulera

Zobacz więcej w osobnym artykule: Wzór Eulera.

$e^{ix} = \cos x + i\sin x\,$

$\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}$

$\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}$

$\operatorname{tg} x = {e^{ix} - e^{-ix} \over (e^{ix} + e^{-ix})i}$

$\operatorname{ctg} x = {e^{ix} + e^{-ix} \over e^{ix} - e^{-ix}}i$

Wzory te pozwalają łatwo przekształcać wyrażenia trygonometryczne, poprzez przejście na postać zespoloną (cztery ostatnie wzory), uproszczenie i powrót na postać trygonometryczną (pierwszy wzór).