Цепная линия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Цепная линия при различных значениях параметра

Цепна́я ли́ния — линия, форму которой принимает гибкая однородная, нерастяжимая тяжелая нить или цепь (отсюда название) с закрепленными концами. Является плоской трансцендентной кривой.

Уравнение в декартовых координатах:

$y = {a \over 2}( e^{x/a}+e^{-x/a} ) = a ~ \operatorname{ch} {x \over a}$

Длина дуги от вершины до произвольной точки (x; y):

$s = a ~ \operatorname{sh} {x \over a} = \sqrt{y^2-a^2}$

Радиус кривизны:

$R = a ~ \operatorname{ch}^2 {x \over a} = {y^2 \over a}$

Площадь, ограниченная цепной линией, двумя ее ординатами и осью абсцисс:

$S = a^2 (\operatorname{sh}{x_2 \over a} - \operatorname{sh}{x_1 \over a}) = a (\sqrt{y_2^2-a^2} - \sqrt{y_1^2-a^2})$

[править] Подвесной мост

Цепь подвесного моста имеет массу намного меньшую, чем пролёт. При таких условиях цепь принимает форму параболы, а не цепной линии.

[править] Арка

Перевёрнутая цепная линия — идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не излома.

На арке в Сент-Луисе написана её точная формула в футах:

$y = -127{,}7^\prime \cdot \operatorname{ch}({x / 127{,}7^\prime}) + 757{,}7^\prime$

В метрах это

$y = -44{,}44 \cdot \operatorname{ch}({x / 44{,}44}) + 263{,}68$

Мыльная плёнка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии. Именно такая поверхность, проходя через две окружности, имеет минимальную площадь.