Производная функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Произво́дная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием.

Содержание

1 Определение
2 Дифференцируемость
3 Замечания
4 Геометрический и физический смысл производной
- 4.1 Тангенс угла наклона касательной прямой
- 4.2 Скорость изменения функции
5 Производные высших порядков
6 Примеры
7 Правила дифференцирования
8 См. также
9 Литература
10 Ссылки

[править] Определение

Пусть в некоторой окрестности точки $x_0 \in \R$ определена функция $f:U(x_0) \subset \R \to \R.$ Производной функции $f$ в точке $x 0$ называется предел, если он существует,

$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.$

Общепринятые обозначения производной функции $y = f (x)$ в точке $x 0$ :

$f'(x_0) = f'_x(x_0)=\mathrm{D}f(x_0) = \frac{df(x_0)}{dx} = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0).$

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

[править] Дифференцируемость

Основная статья: Дифференцируемая функция

Производная $f'(x 0)$ функции $f$ в точке $x 0$ , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция $f$ является дифференцируемой в точке $x 0$ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

$\bigl( f \in \mathcal{D}(x_0) \bigr) \Leftrightarrow \bigl( \exists f'(x_0) \in (-\infty;\infty)\bigr).$

Для дифференцируемой в $x 0$ функции $f$ в окрестности $U (x 0)$ справедливо представление

f (x) = f (x 0) + f'(x 0)(x - x 0) + o (x - x 0)

при $x \to x_0.$

[править] Замечания

Назовём $Δ x = x - x 0$ приращением аргумента функции, а $Δ y = f (x 0 + Δ x) - f (x 0)$ приращением значения функции в точке $x 0 .$ Тогда

$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.$
Пусть функция $f:(a,b) \to \R$ имеет конечную производную в каждой точке $x_0 \in (a,b).$ Тогда определена произво́дная фу́нкция

$f':(a,b) \to \R.$
Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратно, вообще говоря, неверно.
Если производная функция сама является непрерывной, то функцию $f$ называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут: $f \in C^{(1)}\bigl((a,b)\bigr).$

[править] Геометрический и физический смысл производной

[править] Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло серая линия C). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло серая линия C). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Основная статья: Касательная прямая

Если функция $f:U(x_0) \to \R$ имеет конечную производную в точке $x 0,$ то в окрестности $U (x 0)$ её можно приблизить линейной функцией

f l (x) = f (x 0) + f'(x 0)(x - x 0).

Функция $f l$ называется касательной к $f$ в точке $x 0 .$ Число $f'(x 0)$ является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

[править] Скорость изменения функции

Пусть $s = s (t)$ — закон прямолинейного движения. Тогда $v (t 0) = s'(t 0)$ выражает мгновенную скорость движения в момент времени $t 0 .$ Вторая производная $a (t 0) = s''(t 0)$ выражает мгновенное ускорение в момент времени $t 0 .$

Вообще производная функции $y = f (x)$ в точке $x 0$ выражает скорость изменения функции в точке $x 0$ , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью $y = f (x).$

[править] Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

$f^{(0)}(x_0) \equiv f(x_0).$

Если функция $f$ дифференцируема в $x 0$ , то производная первого порядка определяется соотношением

$f^{(1)}(x_0) \equiv f'(x_0).$

Пусть теперь производная $n$ -го порядка $f (n)$ определена в некоторой окрестности точки $x 0$ и дифференцируема. Тогда

$f^{(n+1)}(x_0) = \left(f^{(n)}\right)'(x_0).$

Производные высших порядков обозначаются символами:

$f^{(n)}(x_0) = \mathrm{D}^nf(x_0) = \frac{d^nf(x_0)}{dx^n}.$

Когда $n$ мало, используются штрихи, римские цифры или точки:

$f^{(1)}(x_0) = f'(x_0) = f^I(x) = \dot{f}(x_0),$

$f^{(2)}(x_0) = f''(x_0) = f^{II}(x) = \ddot{f}(x_0),$

f (3) (x 0) = f'''(x 0) = f I I I (x),

и т. д.

[править] Примеры

Пусть $f (x) = x 2 .$ Тогда

$f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0.$

Пусть $f (x) = | x | .$ Тогда если $x_0 \neq 0,$ то

f'(x 0) = sgn x 0,

где $sgn$ обозначает функцию знака. Если $x 0 = 0,$ то $f'_+(x_0) = 1,\; f'_-(x_0) = -1,$ а следовательно $f'(x 0)$ не существует.

[править] Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя их определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.

$~(f+g)'=f'+g'$
$\left(fg\right)'=f'g+fg'$ (отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу)
$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f' g-fg'}{g^2}$
$\frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{df(g)}{dg}\cdot \frac{dg(x)}{dx}=f'_g g'_x$

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

если функция дифференцируема на интервале $~(a,b)$ , то она непрерывна на интервале $~(a,b)$ ;
если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном $~x$ , то $~f'(x)=0$ (это так называемая лемма Ферма);
производная данной функции единственна, но у нескольких разных функций могут быть одинаковые производные.