셈측도

셈측도란 수학에서 사용하는 측도로, 매우 직관적인 측도이다. 어떤 부분집합의 크기는 집합의 원소의 갯수가 유한하다면 원소의 갯수로 정의하며, 무한하다면 그 값은 ∞이다.

집합 Ω에 대하여 Ω의 모든 부분집합으로 σ-집합대수를 구성하고,

μ(A) = |A| (A의 원소의 갯수가 유한)

μ(A) = ∞ (A의 원소의 갯수가 무한, 이 때 |A|는 기수를 나타낸다.)

를 만족하는 측도 μ를 이 σ-집합대수의 측도라 정의하자. 이 때 (Ω, Σ, μ)는 측도공간이 된다.

셈측도는 L^p 공간에서 성립하는 코시-슈바르츠 부등식, 횔더 부등식, 민코프스키 부등식 등의 명제들을 다른 공간에서도 생각할 수 있도록 해준다. 만약, Ω = {1,...,n}이고 μ는 Ω에서 정의된 셈측도일 때, 측도공간 S = (Ω, Σ, μ)에 대하여

$\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \biggr )^{1/p}$ x = (x₁,...,x_n)

를 노름으로 가지는 노름공간 L^p(S)는 Rⁿ (또는 Cⁿ)과 같다. 셈측도 μ를 Ω의 원소의 갯수 n으로 나누어주면, 이는 이산 균등 분포가 된다.

마찬가지로, 만약 Ω를 자연수의 집합이라 하고, S를 Ω에서 셈측도를 측도로 갖는 측도공간이라고 하면,

$\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \biggr)^{1/p}$

의 값이 유한인 x = (x_n)의 수열들이 L^p(S)를 구성한다. 이를 $\ell^p$ 공간이라 한다.

또한, 가산 집합에서의 셈측도는 르베그 적분의 정리들(단조수렴정리, 파토의 보조정리, 지배수렴정리, 푸비니의 정리 등)을 급수에 대해서도 적용할 수 있도록 해준다.

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