Prodotto notevole

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In matematica, un prodotto notevole è un'identità che compare spesso nel calcolo letterale, in particolare per effettuare il prodotto di polinomi di forme particolari. I prodotti notevoli, solitamente imparati a memoria, consentono di svolgere più rapidamente i calcoli rispetto all'applicazione diretta delle regole del calcolo letterale (come la moltiplicazione di due polinomi). Inoltre, riconoscere un prodotto notevole è utile per la scomposizione in fattori dei polinomi o di altre espressioni algebriche.

Indice

1 Quadrato di un polinomio di due (binomio), tre (trinomio) o più termini
2 Cubo di un binomio
3 Prodotto della somma di due o più termini per la loro differenza
4 Potenza n-esima di un binomio

[modifica] Quadrato di un polinomio di due (binomio), tre (trinomio) o più termini

$(x + y)^2 = (x + y) (x + y) = x^2 + xy + y^2 + xy = x^2 + 2xy + y^2 \,\!$

$(x - y)^2 = (x - y) (x - y) = x^2 - xy - xy + y^2 = x^2 - 2xy + y^2 \,\!$

Le due formule si possono unificare nel seguente modo:

Errore del parser (errore lessicale): (x ± y)^2 = x^2 ± 2xy + y^2 \,\!

Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo termine per il secondo, più il quadrato del secondo termine.

La figura rappresenta un quadrato il cui lato è la somma dei due valori $a$ e $b$ . La sua area vale dunque $(a + b) 2$ . Ma questa si ottiene anche attraverso l'addizione dell'area del quadrato giallo ( $a 2$ ), delle aree dei due rettangoli azzurri ( $a b$ per ciascuno) e dell'area del quadrato viola ( $b 2$ ).

Le formule di sopra si possono facilmente generalizzare al caso di polinomi composti da più di due monomi:

$(x + y + z)^2 = (x + y + z)(x + y + z) = x^2 + xy + xz + xy + y^2 + yz + xz + yz + z^2 \,\!$ $= x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz \,\!$

$(x + y - z - d)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + d^2 + 2xy - 2xz - 2xd - 2yz - 2yd + 2zd \,\!$

Il quadrato di un polinomio è uguale alla somma dei quadrati di tutti i termini più il doppio prodotto di ogni termine per ciascuno di quelli che lo seguono.

[modifica] Cubo di un binomio

$(x + y)^3 = (x + y)^2 (x + y) = x^3 + x^2y + 2x^2y + 2xy^2 + xy^2 + y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \,\!$

$(x - y)^3 = (x - y)^2 (x - y) = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 \,\!$

Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo termine.

La scrittura di queste formule rispetto ai termini cubici in a e in b, è nota come formula di Waring ed è necessaria nella soluzione di sistemi simmetrici, nei quali tutti i termini in x e y sono sostituiti dalle variabili somma s e prodotto p.

[modifica] Prodotto della somma di due o più termini per la loro differenza

$(x+ y)(x - y) = x^2 - xy + xy - y^2 = x^2 - y^2 \,\!$

Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo. Leggendo l'uguaglianza da destra verso sinistra, si ottiene anche la regola di scomposizione in fattori di un polinomio pari alla differenza di due quadrati. Il prodotto notevole può essere applicato anche in casi meno evidenti, per esempio:

$(x+ y + z)(x + y - z) = (x + y)^2 - (z)^2 = x^2 + 2xy + y^2 - z^2 \,\!$

Oppure ancora:

$(x + y + z)(x - y - z) = x^2 - {(y+z)}^2 \,\!$

La prima formula letta al contrario, vista cioè come scomposizione in fattori della differenza di due quadrati, si generalizza per $n$ qualsiasi in:

$x^n - y^n = (x - y) (x^{n - 1} + x^{n - 2}y + ... + xy^{n - 2} + y^{n - 1}) = (x - y) \sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k-1}y^{k}$

Se $n$ è dispari, vale anche:

$x^n + y^n = (x + y) (x^{n - 1} - x^{n - 2}y + ... - xy^{n - 2} + y^{n - 1}) = (x + y) \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k x^{n-k-1}y^{k}$

[modifica] Potenza n-esima di un binomio

Per approfondire, vedi la voce Teorema binomiale.

$(x + y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} y^k x^{(n-k)} \,\!$

Dove ${n \choose k}$ è il coefficiente binomiale.

La potenza n-esima del binomio è composta da n+1 termini, due dei quali di potenza n e coefficiente unitario. Gli esponenti di x decrescono da n a zero, mentre quelli di y crescono da zero a n. Curiosamente, i coefficienti binomiali si possono determinare anche con il triangolo di Tartaglia.