Polinomi di Fibonacci

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In matematica, i polinomi di Fibonacci sono una generalizzazione dei numeri di Fibonacci. Questi polinomi sono definiti ricorsivamente come:

$F_n(x)=\left\{\begin{matrix} 1,\qquad\qquad\qquad\qquad&\mbox{se }n=1\\ x,\qquad\qquad\qquad\qquad&\mbox{se }n=2\\ xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&\mbox{se }n\ge3 \end{matrix}\right.$

I primi polinomi di Fibonacci sono:

F 1 (x) = 1

F 2 (x) = x

F 3 (x) = x 2 + 1

F 4 (x) = x 3 + 2 x

F 5 (x) = x 4 + 3 x 2 + 1

F 6 (x) = x 5 + 4 x 3 + 3 x

[modifica] Altre espressioni

La formula esplicita per l'n-esimo polinomio di Fibonacci è:

$\sum_{k = 0}^{\left[ \frac{n - 1}{2} \right]} \binom{n - k - 1}{k} x^{n - 2k - 1}$ ,

dove le parentesi quadre rappresentano la funzione parte intera.

Calcolo dei polinomi di Fibonacci a partire dal triangolo di Tartaglia

I coefficienti del polinomio n-esimo si possono ricavare anche dal triangolo di Tartaglia tramite il seguente algoritmo:

si dispongono i numeri del triangolo allineati a sinistra;
si prende il primo elemento della n-esima riga;
si prende il secondo elemento della n-esime riga (se esiste);
dal questo si procede in diagonale, spostandosi di una riga in alto e una colonna a destra, fino a che si trovano elementi.

[modifica] Proprietà

Valutando i polinomi per $x = 1\$ si ottengono i numeri di Fibonacci;
sommando i coefficienti di ciascun polinomio si ottengono i numeri di Fibonacci;
i polinomi di Fibonacci $F n (x)$ e $F m (x)$ sono divisibili fra loro se lo sono $n\$ e $m\$ ;
le radici del polinomio $F n (x)$ sono date dalla seguente formula:

$2i \cos \left( \frac{k \pi}{n} \right) ,\, k = 1,2, \ldots , n - 1$ ;

se $n\$ è primo, il polinomio $F n (x)$ è irriducibile e le sue radici si ottengono moltiplicando per $\pm 2i$ la parte reale delle radici del corrispondente polinomio ciclotomico.