Polinomi di Jacobi

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In matematica i Polinomi di Jacobi costituiscono una sequenza polinomiale a due parametri e più precisamente costituiscono una successione di polinomi ortogonali a due parametri. Il loro nome ricorda il matematico tedesco Carl Jacobi (1804-1851).

Indice

1 Definizioni
2 Polinomi di Jacobi shiftati
3 Collegamenti con altri polinomi speciali
4 Espressioni esplicite
5 Collegamenti esterni
6 Bibliografia

[modifica] Definizioni

Essi possono definirsi in molti modi equivalenti.

Mediante una serie ipergeometrica che in effetti si riduce a un polinomio:

$P_n^{(\alpha,\beta)}(z) := \frac{(\alpha+1)^{\underline{n}}}{n!} \,_2F_1\left(-n,n+\lambda,\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right)$

dove $\underline{n}$ denota il fattoriale decrescente e dove $\,\lambda:=\alpha+\beta+1\,$ .

Mediante la variante della precedente:

$P_n^{(\alpha,\beta)}(z) := \frac{(-1)^n(\beta+1)^{\underline{n}}}{n!} \,_2F_1\left(-n,n+\lambda,\alpha+1;\frac{1+z}{2}\right)$

Mediante una formula alla Rodriguez:

$P_n^{(\alpha,\beta)}(z) := \frac{1}{2^n n!}\, (1-z)^{-\alpha}(1+z)^{-\beta} \, \frac{d^n}{dz^n} \left[ (1-z)^{\alpha+n}(1+z)^{\beta+n} \right]$

Mediante la espressione polinomiale esplicita

$P_n^{(\alpha,\beta)}(z) := \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n {n+\alpha \choose k} {n+\beta \choose n-k} (z-1)^{n-k} (z+1)^k$

Come soluzioni polinomiali dell'equazione differenziale di Jacobi.

Per $α,β > - 1$ si possono definire come i componenti della successione di polinomi ortogonali nell'intervallo [-1,+1] rispetto alla funzione peso $(1 - x) α (1 + x) β$ . La corrispondente relazione di ortogonalità è

$\int_{-1}^1 dx\, (1-x)^\alpha (1+x)^\beta \, P_m^{\alpha,\beta}(x) P_n^{\alpha,\beta}(x) = 0 ~\mbox{se}~m\neq n$

$=\frac{2^\lambda\,\Gamma(n+\alpha+1)\,\Gamma(n+\beta+1)} {(2n+\lambda)\,n!\,\Gamma(n+\lambda)} ~~\mbox{se}~m=n\neq 0$

$=\frac{2^\lambda\,\Gamma(\alpha+1)\,\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\lambda+1)} ~~\mbox{se}~m=n=0$ .

[modifica] Polinomi di Jacobi shiftati

Si tratta di varianti dei precedenti abbastanza modeste ma molto usate; sono definiti come

$R_n^{\alpha,\beta}(z) := P_n^{(\alpha,\beta)}(2z-1)$ .

Naturalmente anche questi costituiscono una successione di polinomi ortogonali e la relazione di ortogonalità è:

$\int_0^1 dx\, (1-x)^\alpha x^\beta \, R_m^{\alpha,\beta}(x) R_n^{\alpha,\beta}(x) = 0 ~\mbox{se}~m\neq n$

$=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)\,\Gamma(n+\beta+1)}{(2n+\lambda)\,n!\,\Gamma(n+\lambda)} ~~\mbox{se}~m=n\neq 0$

$=\frac{\Gamma(\alpha+1)\,\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\lambda+1)} ~~\mbox{se}~m=n=0$

[modifica] Collegamenti con altri polinomi speciali

Per $α = β = 0$ si riducono ai polinomi di Legendre.

Per $α = β$ si riducono ai polinomi di Gegenbauer:

$C_n^{(\alpha+1/2)}(z) = \frac{(2\alpha+1)^{\underline{n}}}\, {(\alpha+1){\underline{n}}} \,P_n^{(\alpha,\beta)}(z)$ .

Per $α = β = - 1 / 2$ si riducono ai polinomi di Chebyshev di primo genere:

$T_n(z) = \frac{n!}{(1/2)^{\underline{n}}} \,P_n^{(-1/2,-1/2)}(z)$ .

[modifica] Espressioni esplicite

I primi polinomi della successione graduale sono:

$P_0^{(\alpha,\beta)}(z) = 1$

$P_1^{(\alpha,\beta)}(z) = \frac{1}{2} \left[ 2(\alpha+1) + (\alpha+\beta+2)(z-1)\right]$

$P_2^{(\alpha,\beta)}(z) = \frac{1}{8} \left[ 4(\alpha+1)(\alpha+2) + 4(\alpha+\beta+3)(\alpha+2)(z-1) + (\alpha+\beta+3)(\alpha+\beta+4) (z-1)^2\right]$

[modifica] Collegamenti esterni

Jacobi Polynomials in MathWorld

[modifica] Bibliografia

Milton Abramowitz, Irene A. Stegun eds. (1972): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, ISBN 0486612724. Vedi anche chapter 22

Polinomi speciali

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