Coefficiente multinomiale

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Il coefficiente multinomiale è una estensione del coefficiente binomiale. Per numeri interi non negativi $n, k 1,..., k r$ con $k 1 + ... + k r = n$ è definito come

${n \choose k_1, \dots , k_r} := \frac{n!}{k_1!\cdot \dots \cdot k_r!}$

che è sempre un numero naturale.

[modifica] Teorema multinomiale

Come generalizzazione del teorema binomiale vale il cosiddetto teorema multinomiale:

$(x_1+\ldots+x_r)^n=\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n\choose k_1,\ldots,k_r}\cdot x_1^{k_1}\cdots x_r^{k_r}.$

ovvero

$(x_1+\ldots+x_r)^n=\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n!\cdot \prod_{i=1}^r x_i^{k_i}\cdot\frac{1}{k_i!}}$

dove $\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}$ indica la sommatoria di tutte le possibili ennuple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a n.

Una forma più compatta della precedente formula fa uso della notazione multi-indice:

$(x_1+\ldots+x_r)^n= \sum_{|\alpha|=n}^{}{\frac{n!}{\alpha!} \, \mathbf{x}^{\alpha}}$

con

$| \alpha | = \alpha_{1} + \alpha_{2} + \ldots + \alpha_{n}$

$\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}) \in \mathbb{R}^n$

$\mathbf{x}^\alpha = x_{1}^{\alpha_{1}} x_{2}^{\alpha_{2}} \ldots x_{n}^{\alpha_{n}}$

[modifica] Applicazioni

Il coefficiente multinomiale viene usato nella definizione della variabile casuale multinomiale.

$P(X_1=k_1,\, X_2=k_2,\,\dots\, , X_r=k_r) \;=\; {n \choose k_1, \dots , k_r}\cdot p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot ... \cdot p_r^{k_r},$

una variabile casuale discreta.

[modifica] Esempio

Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco Skat). Quanti sono questi modi? La risposta si trova nel coefficiente multinomiale:

${32 \choose 10,\, 10,\, 10,\, 2} = \frac{32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!} = 2.753.294.408.504.640$