Hausdorff-Metrik
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Die Hausdorff-Metrik, benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff, misst den Abstand δ(A,B) zwischen nichtleeren kompakten Teilmengen A, B eines metrischen Raums E.
Anschaulich haben zwei kompakte Teilmengen umso geringeren Hausdorff-Abstand, je besser sie einander wechselseitig überdecken.
[Bearbeiten] Definition
Als Voraussetzung muss der Abstand D eines Punktes x von einer nichtleeren kompakten Teilmenge K ⊆ E als
- D(x,K):=min {d(x,k) | k∈K}
unter Rückgriff auf die Metrik d des Raums E definiert sein.
Dann definiert man den Hausdorff-Abstand zwischen A und B als
- δ(A,B):= max {max{D(a,B) | a∈A} , max{D(b,A) | b∈B} }.
Man kann zeigen, dass δ in der Tat eine Metrik ist.
[Bearbeiten] Anwendungen
In der Theorie der iterierten Funktionensysteme werden Fraktale als Folgengrenzwerte im Sinne der Hausdorff-Metrik erzeugt.
