Gromov-Hausdorff-Metrik
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In der Mathematik bezeichnet die Gromov-Hausdorff-Metrik, benannt nach den Mathematikern Michail Leonidowitsch Gromow und Felix Hausdorff, eine Metrik auf der Menge der Isometrieklassen von kompakten metrischen Räumen.
Anschaulich ist der Gromov-Hausdorff-Abstand umso geringer, je besser sich die gegebenen Räume miteinander in Deckung bringen lassen.
[Bearbeiten] Definition
Der Gramov-Hausdorff-Abstand ist der kleinstmögliche Hausdorff-Abstand, den die gegebenen Räume bei einer Einbettung in einen metrischen Raum haben können. Seien also X,Y kompakte metrische Räume. Dann ist der Gromov-Hausdorff-Abstand dGH(X,Y) definiert als:
wobei
den Hausdorff-Abstand von f(X) und g(Y) in Z bezeichnet.
Dieser ist definiert als:
Der Grenzwert einer im Sinne der Gromov-Hausdorff-Metrik konvergenten Folge wird als Hausdorff-Limit der Folge bezeichnet.
[Bearbeiten] Punktierte Gromov-Hausdorff-Konvergenz
Die punktierte Gromov-Hausdorff-Konvergenz ist das angemessene Analogon zur Gromov-Hausdorff-Konvergenz, wenn man nicht-kompakte metrische Räume betrachtet.
Ist (Xn,pn) eine Folge lokal kompakter vollständiger metrischer Räume, deren Metrik intrinsisch ist, so heißt diese gegen (Y,q) konvergent, wenn für jedes R > 0 die abgeschlossenen R-Bälle um pn im Gromov-Hausdorff-Sinne gegen den abgeschlossenen R-Ball um q konvergieren.
[Bearbeiten] Literatur
- M. Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9.
