পাই

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

পাই এর প্রতীক π

পাই (প্রতীক π, প্রাচীন গ্রিক ভাষায় পি) অথবা π একটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক ধ্রুবক, মোটামুটিভাবে এর মান ৩.১৪১৫৯তে। ইউক্লিডিয় জ্যামিতিতে এর diameterতে যেকোন বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাতকে এই ধ্রুবক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তবে একইভাবে এটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সঙ্গে এর ব্যাসার্ধের বর্গের অনুপাতের সমান। গণিত, বিজ্ঞান ও প্রকৌশল বিদ্যার অনেক সূত্রে পাই-এর দেখা পাওয়া যায়। পাই এইটি একটি অমূলদ সংখ্যা, অর্থাৎ এটিকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না। অন্যভাবে বলা যায় এটিকে দশমিক আকারে সম্পূর্ণ প্রকাশ করা সম্ভব নয়। তার মানে আবার এও নয় যে, এটিতে কিছু অঙ্ক পর্যাবৃত্ত বা পৌন:পুনিক আকারে আসে। বরং দশমিকের পরের অঙ্কগুলো দৈবভাবেই পাওয়া যায়। পাই যে কেবল অশূলদ তা নয়, এটি একই সঙ্গে একটি তুরীয় সংখ্যা, অর্থাৎ এটিকে কোন বহুপদী সমীকরণের মূল হিসাবেও গণনা করা যায় না। গণিতের ইতিহাস জুড়ে, নির্ভুলভাবে পাই-এর মাণ নির্ণয়ের ব্যাপক চেষ্টা করা হয়েছে। এমনকী এই ধরণের প্রচষ্টা কখনো কখনো সংস্কৃতির অংশও হয়েছে। গ্রিক বর্ণ পাই, গ্রিক পরিধি (perimeter, περίμετρος ) থেকে এসেছে। সম্ভবত ১৭০৬ সালে উইলিয়াম জোনস প্রথম এটি ব্যবহার করেন। পরবর্তীতে লিওনার্দ অয়েলার এটিকে জনপ্রিয় করেন। পাইকে গণিতে ব্যাবহারের সময় ইংরেজী পাই (pie) হিসেবে উচ্চারণ করা হয় যদিও এর গ্রিক উচ্চারণ পি। এটিকে কোনো কোনো সময় বৃত্তীয় ধ্রুবক, আর্কিমিডিসের ধ্রুবকও বলা হয়।

সূচিপত্র

১ মৌলিক তথ্য
২ ইতিহাস
৩ গণিত ও বিজ্ঞানে ব্যবহার
- ৩.১ জ্যামিতি ও ত্রিকোণমিতি
- ৩.২ উচ্চতর বিশ্লেষণ ও সংখ্যা তত্ত্ব
৪ আরো দেখন
৫ তথ্যসূত্র
৬ বহিসংযোগ

[সম্পাদনা] মৌলিক তথ্য

[সম্পাদনা] বর্ণ π

যখন গ্রিক বর্ণ π পাওয়া যায় না, তখন পাই অথবা pi ব্যবহার করা হয়। এর ইংরেজী উচ্চারণ পাই হলেও গ্রিক উচ্চারণ কিছুটা ভিন্ন। আর এই ধ্রুবকের নাম π কারণ গ্রিক περιφέρειαয় (periphery) এবং περίμετρος (perimeter) এর প্রথম বর্ণ এটি। ^[১] এছাড়া এটি ইউনিকোড অক্ষর U+03C0 . ^[২]

[সম্পাদনা] সংজ্ঞা

Circumference = π × diameter

ইউক্লিডিয় সমতলীয জ্যামিতিতে, বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাতকে π হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। ^[১]

$\pi = \frac{c}{d}$

লক্ষনীয় যে, পরিধি/ব্যাস বৃত্তের মাপের ওপর নির্ভর করে না। যদি একটি বৃত্তের ব্যাস অন্য একটি বৃত্তের ব্যাসের দ্বিগুন হয়, তাহলে সেই বৃত্তের পরিধি পরের বৃত্তের পরিধির দ্বিগুন হবে। অর্থাৎ পরিধি/ব্যাস একই থাকবে। এই ঘটনাটি সমস্ত বৃত্তের similarityএর একটি consequence।

Area of the circle = π × area of the shaded square

অন্যভাবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও যে বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান তার ক্ষেত্রফলের অনুপাত হিসাবেও প্রকাশ করা যায়। ^[১]^[৩]

$\pi = \frac{A}{r^2}$

[সম্পাদনা] অমূলদত্ব ও তুরীয়ত্ব

ধ্রুবক π একটি অমূলদ সংখ্যা ; মানে এইটিকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসেবে লেখা যাবে না। ১৭৬১ সালে জোহান হেনরিখ ল্যাম্বার্ট এটি প্রমাণ করেন ^[১]। বিশ শতকে, এমন সা প্রমাণ বের করা হল যা বোঝার জন্য ক্যালকুলাস সম্পর্কে সাধারণ জ্ঞান থ্কলেই চলে। এর মধ্যে আইভান নিভেন-এর প্রমাণটি সর্বজনবিদিত ^[৪]^[৫]। এর আগের আর একটি প্রমাণ করেন মেরি কার্টরাইট ^[৬]

১৮৮২ সালে ফার্দিনান্ড ভন লিনডেম্যান প্রমাণ করেন যে পাই একটি তুরীয় সংখ্যা। এর মানে মূলদ সহগবিশিষ্ট এমন কোন বহুপদী সমীকরণ নেই, π যার মূল^[৭] । তাহলে এর আর একটি বৈশিষ্ট্য দাড়ালো যে, কম্পাস ও রুলারের সাহায্যে পাই আছে এমন সমতূল কিছু আঁকা যাবে না। মানে হল কম্পাস ও রুলারের সাহায্যে একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র কখনো আঁকা যাবে না। ^[৮]

[সম্পাদনা] সাংখ্যিক মান

দশমিকের পর পঞ্চাশ ঘর পর্যন্ত পাই-এর মান নিচে দেওয়া হল। ^[৯]

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

দশমিকের পর ট্রিলিয়নের (১ এর পর ১২টি শূন্য, 10¹²) বেশি ঘর পর্যন্ত পাই-এর মান বের করা হলেও সাধারণ কাজে দশমিকের পর ১২ ঘরের বেশি মান তেমন একটা প্রয়োজন হয় না। জানা দুনিয়ায় সবচেয়ে বড় বৃত্তের পরিধি গণনার জন্য ৩৯ ঘরের মান ব্যবহার করলে তার সুক্ষতা হবে হাইড্রোজেন পরমাণুর সমান। ^[১০]

π নিজেই একটি অসীম দশমিক বর্ধন কারণ π একটি অমূলদ সংখ্যা, এর দশমিক বর্ধন কখনো শেষ হয় না বা পুনরাবৃত্তি করে না। এই অসীম ধারাটি গণিতজ্ঞ ও সাধরণ মানুষকে যুগে যুগে চমৎকৃত করেছে। তাই সবাই চেষ্টা করেছে এর সঠিক মান বের করার জন্য। কেবল যে বিশ্লেশণী কাজ হয়েছ তা নয়, এই কাজে এমনকী সুপার কম্পিউটারও ব্যবহার করা হয়েছে।সুপার কম্পিউটার ব্যবহার করে দশমিকের পর লক্ষ কোটি ঘর পর্যন্ত হিসাব করে কোন পুনরাবৃত্তি পাওযঅ যায় নি। ^[১১]

[সম্পাদনা] পাই গণনা

একটি বড় বৃত্ত একে তার ব্যাস ও পরিধি মেপে π-এর মান গণনা করা যায় । এছাড়া আর একটি পদ্ধতি রয়েছে যেখানে ও বৃত্ত আর বহুভূচ আঁকতে হয়। এটি আর্কিমিডিসের পদ্ধতি। একটি বৃত্তের মধ্যে সুষম বহুভূজ আঁকতে হবে। বাহুর সংখ্যা যতো বেশি হবে বহুভূজের ক্ষেত্রফল বৃত্তের ক্ষেত্রফলের ততো কাছাকাছি হবে। তারপর বৃত্তের ব্যাসার্ধের সঙ্গে এর ক্ষেত্রফলের সম্পর্ক থেকে π গণনা করা যাবে। ^[১২] Then, using the relationship that the area A of a circle is π times the square of the radius r, π can be approximated by using:^[১২]

$\pi \approx \frac{A_{polygon}}{r^2}\!$

বিশুদ্ধ গাণিতিক পদ্ধতিতেও π গণনা করা যায়। তবে π গণনার বেশিরভাগ সীত্রাবলী বোধার জন্য ত্রিকোণমিতি ও ক্যালকুলাস -এর ধারণা থাকা দরকার। আবার কোনো কোনোটি বেশ সহজ। যেমন গ্রেগরি-লিবনিৎজ ধারা। ^[১৩]

$\pi = \frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}\cdots\!$ .

এই ধারাটি লিখতে এ গণনা করতে সহজ হলেও এই থেকে -এর মান কেন পাওয়া যাবে তা তাৎ‍ক্ষণিকভাবে বোধগম্য হওয়া কঠিন। এটি এতো ধীরে কেন্দ্রীভূত হয় যে, এর ৩০০টি পদ নিয়েও দশমিকের পর দুইঘর মানএ সঠিকভাবে পাওযা যায় না। ^[১৪]

[সম্পাদনা] ইতিহাস

πএর ইতিহাস আর গণিতের উন্নতিসাধনের সামগ্রিক ইতিহাস প্রায় সমান্তরাল। ^[১৫]। বিভিন্ন লেখক পাই-এর ইতিহাসকে তিনভাগে ভাগ করেছেন – জ্যামিতি প্রয়োগের প্রাচীনকালের জ্যামিতি যুগ, সম্পদশ শতকে ইউরোপে ক্যালকুলাস আবিস্কারের পর সনাতণী যুগ এবং কম্পিউটারের আবির্ভাবের পর কম্পিউটার যুগ। ^[১৬]

[সম্পাদনা] জ্যামিতি যুগ

পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত যে সব বৃত্তের জন্য সমান ও ৩ এর বড় এই সত্য প্রাচীন মিশরীয়, ব্যাবিলণীয়, ভারতীয় ও গ্রিক জ্যামিতজ্ঞদের জাসা ছিল। সবচেয়ে পুরোনো গণনার কথা জনা যাচ্ছে খ্রিস্টপূর্ব ১৯০০ বছর আগের। এর মধ্যে রয়েছে ব্যাবিলনীয় (25/8) ও মিশরীয়দের (256/81) মান প্রকৃত মানের ১ শতাংশের মধ্যে।^[১] ভারতীয় পুস্তক ( Shatapatha Brahmana)-এ π -এর মান ৩৩৯/১০৮≈ ৩..৩১৯ হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে। খ্রিস্টপূর্ব ৬০০ সালে প্রকাশিত বুকস অব কিং-এ π -এর মান ৩ হিসাবে প্রস্তাব করা হয়েছে। ^[১৭]^[১৮] আর্কিমিডিস (খ্রিস্টপূর্ব ২৮৭‌২১২)) প্রথম rigorously পাই-এর মান গণনা করেন। তিনি প্রথমে পাই মানের সীমা বের করলেন। বৃত্তর ভিতরে সুষম বহুভূজের পরিসীমা বের করে তিনি এই কাজটি সমাধা করেন। ^[১৮]

৯৬ বাহু বিশিষ্ট বহুভূজ একে তিনি দেখালেন 223/71 < π < 22/7 ^[১৮]। এই দুই-এর গড় নিয়ে পাই-এর একটি মান পাওয়া গেল ৩.১৪১৯. পরবর্তী শতকগুলোতে ভারত ও চীনে বেশ কাজ হয়েছ। মোটামুটি ৪৮০ সালে চীনা গণিতজ্ঞ জু চোঙ্গজি পাই‌এর আসন্ন মান বের করলেন ৩৫৫/১১৩ এবং প্রমাণ করলেন 3.1415926 < π < 3.1415927 যা কিনা পরবর্তী ৯০০ বছর পর্যন্ত সবচেয়ে সঠিক হিসাবে বিবেচিত হয়েছে।

[সম্পাদনা] সনাতনী যুগ

দ্বিতীয় সহস্রাব্দ শুরুর আগে পাই এর মান দশমিকের পর ১০ ঘর পর্যন্ত জানা ছিল। পাই গবেষণার পরবর্তী উল্লেখযোগ্য অগ্রগতি ঘটে ক্যালকুলাস বিশেষ করে অসীম ধারা আবিস্কারের পর থেকে। অসীম ধারা থেকে বোঝা গেল বেশি বেশি পদ যোগ করে পাইর মান অধিকতর সূক্ষতায় বের করা যাবে। ১৪০০ সালের দিকে সংগমাগ্রামার মাধবপ্রথম সেরকম ধারা খুঁজে পান।

$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\!$

এই ধারাটি এখন গ্রেগরি‌-লিবনিৎজ ধারা নামে পরিচিত কারণ সম্পদশ শতকে এটি তাদের দ্বারা পুন আবিস্কৃত হয়। দুঃখের বিষয় এর কেন্দ্রীভুতীর হার খুবই ধীর। এমনকী আর্কিমিডিসের সমান সূক্ষতার জন্য প্রয় ৪০০০ পদের যোগফল নেওয়া দরকার হয়ে পড়ে। যাহোক সিরিজটিকে নিচের ধারায় রূপান্তরিত করে

$\pi = \sqrt{12} \, \left(1-\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right)\!$

মাধব π=3.14159265359, বের করেন যা ১১ ঘর পর্যন্ত সঠিক। ১৪২৪ সালে ইরানের জ্যোতির্বিদ জামশিদ আল-কাশি ১৬ ঘর পর্যন্ত π-এর মান বের করলে মাধবের রেকর্ড ভেঙ্গে যায়। জার্মান গণিতজ্ঞ লুডলফ ভন চিউলেন আর্কিমিডিসের পর প্রথম ইউরোপীয় হিসাবে পাই গণনায় শরীক হোন। তিনি জ্যামিতিক পদ্ধতিতে দশমিকের পর ৩২ ঘর পর্যন্ত সঠিকভাবে পাই গণনা করেন। এই গণনা করে তিনি এত বেশি আনন্দিত ও গর্বিত হোন যে, মৃত্যুর পর তার সমাধিতে সেটি উৎকীর্ণ করা হয়। এই সময়ে ইউরোপে ক্যালকুলাস, অসীম ধারার সমাধান ও জ্যামিতিক গুণন পদ্ধতির আবির্ভাব হয়। সেরক, প্রথম হলো ভিয়েতের সূত্র যা তিনি ১৫৯৩ সালে আবিস্কার করেন।।

$\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots\!$

আর একটি বিখ্যাত ফল হলো ১৬৫৫ সালে জন ওয়ালির সূত্রবদ্ধ ওয়ালির গুনফল

$\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots\!$

আইজ্যাক নিউটনও π -এর জন্য ধারা লিখেছেন এবং ১৫ ঘর পর্যন্ত মান বের করেছেন।

জন মাচিন হলেন প্রথম ব্যক্তি যিনি কী না ১০০ ঝর পর্যন্ত পাই-এর মান বের করেন। তিনি

$\frac{\pi}{4} = 4 \, \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}\!$

সূত্রের সঙ্গে নিচের সূত্রটিও ব্যবহার করেন।

$\arctan \, x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots\!$

এই ধরণের সূত্রকে এখন মাচিন তূল্য সূত্র বলা হয়। মাচিন-তুল্য সীত্র সমূহ কম্পিউটার আগমনের আগ পর্যন্ত পাই গণনায় সবচেয়ে সফল। সেরকম অনেক সীত্র তখন প্রচলিত ছিল। সেরকম একটি সূত্রের সাহায্যে ১৮৪৪ সালে জাকারিয়াস ডাসে মুখে মেখে ২০০ ঘর পর্যন্ত গণনা করে সবাইকে তাক লাগিয়ে দেন। ১৯ শতকে সবচেয়ে ভালো সাফল্য উইলিয়াম শাঙ্ক-এর. ১৫ বছরে তিনি দশমিকের পর ৭০৭ ঘর পর্যন্ত গণনা করেন। তবে পরে দেখা যায় সামান্য ভুলের জন্য ৫২৭ ঘর পর্যন্ত তার হিসাব সীটক ছিল। (এই ধরণের ভুল এড়ানোর জন্য এখন কমপক্ষে দুইভাবে গণনা করে দেখা হয় সঠিক আছে কী না। ) আঠারো শতকে তত্বীয় আগ্রগতি থেকে জানা গেল কেবল গাণিতিক গণনা করে পাই এর মান বের করা যাবে না।১৭৬১ সালে জোহান হেনরিক ল্যাম্বার্ট আবিস্কার করলেন π একটি অমূলদ সংখ্যা। ১৭৯৪ সালে আদ্রে-মারি লেজেন্ড্রে আরো একধাপ অগ্রসর হয়ে দেখালেন π² ও একটি অমূলদ সংখ্যা। ১৭৩৫ সালে বেসেলের সমস্যা সমাধান করে লিওনার্দ অয়েলার

$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots\!$

এর প্রকৃত মান বের করেন যা কীনা π²/6। তিনি π ও মৌলিক সংখ্যার মধ্যে ভালো সম্পর্ক খুঁজে পান। অয়েলার ও লেজেন্ড্রে দুইজনই ধারণা করেছিলেন যে π একটি সীমাতিক্রান্ত সংখ্যা হতে পারে। বস্তুত ১৮৮২ সালে ফার্দিনান্দ ভন লিন্ডারম্যান এটি প্রমাণ করেণ। উইলিয়াম জোনস তার A New Introduction to Mathematics বইতে প্রথম এই ধ্রুবক প্রকাশে π ব্যবহার করেন। তবে এটি জনপ্রিয় হয় ১৭৩৭ সালে অয়েলার যখন এটিগ্রহণ করেন।

[সম্পাদনা] আধুনিক ডিজিটাল যুগ

বিশ শতকে কম্পিউটারের উদ্ভাবনের পর π গণনায় নতুন জোয়ার আসে। জন ভন নিউম্যান ১৯৪৯ সালে ২০৩৭ ঘর পর্যন্ত গণনা করেন। এনিয়াক কম্পিউটারে এই গণনার জন্য মাত্র ৭০ ঘন্টা সময় লেগেছিল। বিশ শতকের শুরুতে ভারতীয় গণিতবিদ শ্রীনিবাস রামানুজন π গণনার বেশ কটি নতুন সূত্র বের করেন। ^[১৯] তার একটি বিখ্যাত সিরিজ হল

$\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!$

$\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!$

যা কীনা প্রতি পদে ১৪ ঘর করে মান বের করতে পারে। ^[১৯]

[সম্পাদনা] গণিত ও বিজ্ঞানে ব্যবহার

গণিতের বিভিন্ন ক্ষেত্রে π ব্যবহৃত হয়। এমনকি বিশুদ্ধ ইউক্লিডীয় জ্যামিতির গণ্ডি পেরিয়ে পাই অন্য সব শাখাতে প্রবেশ করেছে।^[২০]

[সম্পাদনা] জ্যামিতি ও ত্রিকোণমিতি

r ব্যাসার্ধ্য এবং d=2r ব্যাসবিশিষ্ট এএটি বৃত্তের পরিধি হচ্ছে πd এবং তার ক্ষেত্রফল হল πr²। এছাড়া বৃত্তকে কেন্দ্র করে গড়ে ওঠা আরও বেশ কিছু আকৃতি ও গড়নের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয়ে পাই ব্যবহৃত হয়। এর মধ্যে রয়েছে উপবৃত্ত, গোলক, কোণ এবং টোরাস।^[২১] একই সাথে পাই নির্দিষ্ট যোগজে পরিধি, ক্ষেত্রফল ও আয়তন প্রকাশের জন্য ব্যবহৃত হয়। বৃত্তের বিভিন্ন সজ্জার মাধ্যমেই সৃষ্ট পরিধি, ক্ষেত্রফল ও আয়তনই এখানে বিবেচ্য। যেমন, একটি একক চাকতির ক্ষেত্রফলের সমীকরণটি হচ্ছে:^[২২]

$\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}$

এবং

$\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \pi$

সমীকরণটি দ্বারা একক বৃত্তের পরিধির অর্ধেক নির্ণয় করা যায়।^[২৩] আরও জটিল সমীকরণ পাইয়ের সহায়তায় যোগজীকরণ করা যায়। তবে সেক্ষেত্রে সলিড্‌ অফ রিভলিউশন এর প্রয়োজন পড়ে।^[২৪]

ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের একক বৃত্ত সংজ্ঞা থেকে জানা যায়, সাইন এবং কোসাইন অপেক্ষকের পর্যায় হচ্ছে 2π। অর্থাৎ, সকল চলক x এবং সকল পূর্ণ সংখ্যা n এর জন্য sin(x) = sin(x + 2πn) এবং cos(x) = cos(x + 2πn)। কারণ, সকল পূর্ণ সংখ্যা n এর জন্য sin(0) = 0, sin(2πn) = 0। অন্যদিকে আবার, ১৮০° কোণ মানের দিক থেকে π রেডিয়ানের সমান। অন্য কথায় ১° = (π/১৮০) রেডিয়ান।

আধুনিক গণিতে, অনেক সময়ই ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক ব্যবহার করে পাইয়ের সংজ্ঞা দেয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, sin x = 0 সমীকরণটির কথা ধরা যাক। x-এর যে ক্ষুদ্রতম অশূন্য ধনাত্মক মানের জন্য এই সমীকরণটি সত্য হবে তাকে পাইয়ের সংজ্ঞা হিসেবে ধরা যায়। কারণ sin π = 0। এভাবে সংজ্ঞায়িত করে ইউক্লিডীয় জ্যামিতি ও সমাকলনের অপ্রয়োজনীয় ঝামেলা এড়ানো যায়। একইভাবে বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক ব্যবহার করেও এ ধরণের সংজ্ঞা দেয়া যায়। একটি উদাহরণ দেয়া যাক, π = 2 arccos(0) or π = 4 arctan(1)। পাইয়ের অসীম ধারা প্রতিপাদন করার জন্যও বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক ব্যবহার করা হয়। বিপরীত ত্রিককণমিতিক অপেক্ষক বর্ধিত করার মাধ্যমেই এই প্রতিপাদনটি করা সম্ভব।

[সম্পাদনা] উচ্চতর বিশ্লেষণ ও সংখ্যা তত্ত্ব

জটিল বিশ্লেষণে পাই ধ্রুবকটি অনেক বেশী ব্যবহৃত হয়।

[সম্পাদনা] আরো দেখন

২২/৭ পাই-এর চেয়ে বড় তার প্রমাণ

[সম্পাদনা] তথ্যসূত্র

↑ ^১.০ ^১.১ ^১.২ ^১.৩ ^১.৪ About Pi. Ask Dr. Math FAQ. Retrieved on 2007-10-29.]
↑ Characters Ordered by Unicode. W3C. Retrieved on 2007-10-25.
↑ Richmond, Bettina (1999-01-12). Area of a Circle. Western Kentucky University. Retrieved on 2007-11-04.
↑ Niven, Ivan (1947). "A simple proof that π is irrational" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society 53: 509. Retrieved on 2007-11-04.
↑ Richter, Helmut (1999-07-28). Pi Is Irrational. Leibniz Rechenzentrum. Retrieved on 2007-11-04.
↑ Jeffreys, Harold (1973). Scientific Inference, 3rd, Cambridge University Press.
↑ Mayer, Steve. The Transcendence of π. Retrieved on 2007-11-04.
↑ Squaring the Circle. cut-the-knot. Retrieved on 2007-11-04.
↑ A000796: Decimal expansion of Pi. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Retrieved on 2007-11-04.
↑ Statistical estimation of pi using random vectors. Retrieved on 2007-08-12.
↑ Boutin, Chad]]. "Pi seems a good random number generator - but not always the best", Purdue University, 2005-04-26. 2007-11-04 তারিখে সংগৃহীত।.
↑ ^১২.০ ^১২.১ Groleau, Rick (09-2003). Infinite Secrets: Approximating Pi. NOVA. Retrieved on 2007-11-04.
↑ Eymard, Pierre; Jean-Pierre Lafon (02 2004). "2.6", The Number π, Stephen S. Wilson (translator) (in English), American Mathematical Society, 53. ISBN 0821832468. Retrieved on 2007-11-04.
↑ Lampret, Vito (2006). "Even from Gregory-Leibniz series π could be computed: an example of how convergence of series can be accelerated" (PDF). Lecturas Mathematicas 27: 21-25. Retrieved on 2007-11-04.
↑ Beckmann, Petr (1976). A History of π. St. Martin's Griffin. ISBN 0-312-38185-9.
↑ Archimedes' constant π. Retrieved on 2007-11-04.
↑ Aleff, H. Peter. Ancient Creation Stories told by the Numbers: Solomon's Pi. recoveredscience.com. Retrieved on 2007-10-30.
↑ ^১৮.০ ^১৮.১ ^১৮.২ O'Connor, J J; E F Robertson (2001-08). A history of Pi. Retrieved on 2007-10-30.
↑ ^১৯.০ ^১৯.১ The constant π: Ramanujan type formulas. Retrieved on 2007-11-04.
↑ Japanese breaks pi memory record. BBC News (2005-07-02). Retrieved on 2007-10-30.
↑ Area and Circumference of a Circle by Archimedes. Penn State. Retrieved on 2007-11-08.
↑ Weisstein, Eric W (2006-01-28). Unit Disk Integral. MathWorld. Retrieved on 2007-11-08.
↑ Area and Circumference of a Circle by Archimedes. Penn State. Retrieved on 2007-11-08.
↑ Weisstein, Eric W (2006-05-04). Solid of Revolution. MathWorld. Retrieved on 2007-11-08.

[সম্পাদনা] বহিসংযোগ

উইকিমিডিয়া কমন্সে নিম্নের বিষয় সংক্রান্ত ছবি, অডিও বা ভিডিও রয়েছে:

পাই

The Joy of Pi by David Blatner
Decimal expansions of Pi and related links at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
J J O'Connor and E F Robertson: A history of pi. Mac Tutor project
Lots of formulas for π at MathWorld
PlanetMath: Pi
Finding the value of π
Determination of π at cut-the-knot
BBC Radio Program about π
Statistical Distribution Information on PI based on 1.2 trillion digits of PI
First 4 Million Digits of π - Warning - Roughly 2 megabytes will be transferred.
One million digits of pi at piday.org
Project Gutenberg E-Text containing a million digits of π
Search the first 200 million digits of π for arbitrary strings of numbers
Source code for calculating the digits of π
π is Wrong! An opinion column on why 2π is more useful in mathematics.
70 Billion digits of Pi(π) downloads.
Pi-memory

এই গণিত বিষয়ক নিবন্ধটি অসম্পূর্ণ। আপনি চাইলে এটি পরিবর্ধন করে উইকিপিডিয়াকে সাহায্য করতে পারেন।

প্র • আ • স গণিত
যুক্তিবিজ্ঞান এবং গণিতের ভিত্তি	গণিতের ভিত্তি • স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থা • গাণিতিক কূটাভাস • প্রতীকী যুক্তিবিজ্ঞান • স্বতঃসিদ্ধমূলক সেট তত্ত্ব • মডেল তত্ত্ব • অনাদর্শ বিশ্লেষণ • গ্যোডেল সংখ্যা • পুনরাবৃত্ত ফাংশন • সিদ্ধান্ত সমস্যা • গঠনমূলক ক্রমসূচক সংখ্যা • বিশ্লেষণী সেট
সেট, সাধারণ টপোগণিত এবং ক্যাটেগরিসমূহ	সেট • অন্বয় • সমতুল সম্পর্ক • ফাংশন • চয়নের স্বতঃসিদ্ধ ও এর সমতুলসমূহ • উপাদান সংখ্যা • সংগঠন • বিন্যাস ও সমাবেশ • সংখ্যা • বাস্তব সংখ্যা • জটিল সংখ্যা • ক্রমায়ন • ক্রমসূচুক সংখ্যা • ল্যাটিস • বুলিয়ান বীজগণিত • টপোজগৎ • মেট্রিক জগত • সমতল ডোমেইন • অভিসৃতি • সংযুক্ততা • মাত্রা তত্ত্ব • সমজগৎ • সমঅভিসৃতি • ক্যাটেগরি ও ফাংটর • আরোহী সীমা ও অভিক্ষেপী সীমা • শিফ
বীজগণিত	বীজগণিত • মেট্রিক্স • নির্ণায়ক • বহুপদী • বীজগাণিতিক সমীকরণ • ফিল্ড • গালোয়া তত্ত্ব • যোগাশ্রয়ী জগৎ • রিং • সহযোগী বীজগণিত • বিনিমেয় রিং • ন্যোথারীয় রিং • বহুপদীর রিং • ঘাত ধারার রিং • দ্বিঘাত ফর্ম • ক্লিফোর্ড বীজগণিত • অন্তরক রিং • ভিট ভেক্টর • মান আরোপন • আদেলীয় বীজগাণিতিক গ্রুপ • কেলি বীজগণিত • জর্ডান বীজগণিত • মডিউল • হোমোলজীয় বীজগণিত • হপ্‌ফ বীজগণিত
গ্রুপ তত্ত্ব	গ্রুপ • আবেলীয় গ্রুপ • মুক্ত গ্রুপ • সসীম গ্রুপ • ধ্রুপদী গ্রুপ • টপোগাণিতিক গ্রুপ • টপোগাণিতিক আবেলীয় গ্রুপ • সংবদ্ধ গ্রুপ • লি গ্রুপ • লি বীজগণিত • বীজগাণিতিক গ্রুপ • সমধর্মী জগৎ • প্রতিসম রীমানীয় জগৎ ও বাস্তব ফর্ম • বিচ্ছিন্ন গ্রুপ • স্ফটিকীয় গ্রুপ • উপস্থাপন • ঐকিক উপস্থাপন • অব্যয় ও সমপরিবর্তিতা
সংখ্যাতত্ত্ব	সংখ্যাতত্ত্ব • অবিরত ভগ্নাংশ • সংখ্যাতাত্ত্বিক ফাংশন • যোগাত্মক সংখ্যা তত্ত্ব • সংখ্যার বিভাজন • মৌলিক সংখ্যার বিন্যাস • ল্যাটিস-বিন্দু সমস্যা • দিওফান্তুসীয় সমীকরণ • সংখ্যার জ্যামিতি • তুরীয় সংখ্যা • দ্বিঘাত ফিল্ড • বীজগাণিতিক সংখ্যা ফিল্ড • শ্রেণী ফিল্ড তত্ত্ব • জটিল গুণন • ফের্মার সমস্যা • স্থানীয় ফিল্ড • সহযোগী বীজগণিতের পাটীগণিত • জেটা ফাংশন
ইউক্লিডীয় এবং অভিক্ষেপী জ্যামিতি	জ্যামিতি • জ্যামিতির ভিত্তি • ইউক্লিডীয় জ্যামিতি • ইউক্লিডীয় জগৎ • জ্যামিতিক অঙ্কন • সুষম বহুভুজ • পাই • ত্রিকোণমিতি • কনিক • চতুর্মাত্রিক তল • উত্তল সেট • ভেক্টর • স্থানাংক • অভিক্ষেপী জ্যামিতি • অ্যাফাইন জ্যামিতি • অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি • সমরূপী জ্যামিতি • এরলাঙেন প্রকল্প • অবিচ্ছিন্ন জ্যামিতি • বক্ররেখা • তল • চার বর্ণ উপপাদ্য
অন্তরক জ্যামিতি	অন্তরক জ্যামিতি • অন্তুরীকরণযোগ্য প্রজগৎ • রিমানীয় প্রজগৎ • সংযোজন • টেনসর ক্যালকুলাস • প্রভূমিতি • প্রতিসম জগৎ • জি-সংগঠন • জটিল প্রজগৎ • কেলার প্রজগৎ • হারমনিক যোগজ • বক্ররেখা ও তলের অন্তরক জ্যামিতি • রিমানীয় উপ-প্রজগৎ • ন্যূনতম উপ-প্রজগৎ • হারমনিক চিত্রণ • মোর্স তত্ত্ব • ফিন্সলার জগৎ • যোগজ জ্যামিতি • জিগেল ডোমেন • ছদ্মসমরূপী জ্যামিতি • বর্ণালী জ্যামিতি • সামগ্রিক বিশ্লেষণ
বীজগাণিতিক জ্যামিতি	বীজগাণিতিক জ্যামিতি • বীজগাণিতিক বক্ররেখা • বীজগাণিতিক তল • বীজগাণিতিক ভ্যারাইটি • আবেলীয় ভ্যারাইটি • রিমান-রখ উপপাদ্য
টপোগণিত	টপোগণিত • মৌলিক গ্রুপ • আবরক জগৎ • চিত্রণের মাত্রা • কমপ্লেক্স • হোমোলজি তত্ত্ব • স্থির-বিন্দু উপপাদ্য • কোহোমোলজি অপারেশন • হোমোটপি তত্ত্ব • ফাইবার জগৎ • বাধা • লি গ্রুপ ও সমমাত্রিক জগতের টপোগণিত • ফাইবার গুচ্ছ • বিশিষ্ট শ্রেণী • কে-তত্ত্ব • গিঁট তত্ত্ব • গুচ্ছবিন্যাসীয় প্রজগৎ • অন্তরক টপোগণিত • রূপান্তর গ্রুপ • ব্যতিক্রম বিন্দুর তত্ত্ব • ফোলিয়েশন • গতি ব্যবস্থা • আকার তত্ত্ব • বিপর্যয় তত্ত্ব
বিশ্লেষণ গণিত	বিশ্লেষণ গণিত • অবিচ্ছিন্ন ফাংশন • অসমতা • উত্তল বিশ্লেষণ • সীমিত ভেদের ফাংশন • অন্তরকলন • অব্যক্ত ফাংশন • প্রাথমিক ফাংশন • সি-অসীমঘাত ফাংশন ও অর্ধ-বৈশ্লষিক ফাংশন • যোগজকলন • বক্ররৈখিক যোগজ ও পৃষ্ঠ যোগজ • পরিমাপ তত্ত্ব • যোগজীকরণ তত্ত্ব • অব্যয় পরিমাপ • সেট ফাংশন • দৈর্ঘ্য • ক্ষেত্রফল • দঁজোয়া যোগজ • ধারা • অসীমতটীয় ধারা • বহুপদীয় আসন্নীকরণ • লম্ব ফাংশন • ফুরিয়ে ধারা • ফুরিয়ে রূপান্তর • হারমনিক বিশ্লেষণ • প্রায়-পর্যায়বৃত্ত ফাংশন • লাপ্লাস রূপান্তর • যোগজ রূপান্তর • বিভব তত্ত্ব • হারমনিক ফাংশন ও উপহারমনিক ফাংশন • ডিরিশ্‌লেট সমস্যা • ধারকত্ব • ভেদকলন • প্লাতোর সমস্যা • সমপরিসীমা • ভেদ অসমতা
জটিল বিশ্লেষণ	হলোমর্ফিক ফাংশন • ঘাত ধারা • ডিরিশলেট ধারা • সীমিত ফাংশন • একযোজী ও বহুযোজী ফাংশন • তুরীয় সমগ্র ফাংশন • আনুপাতিক ফাংশন • জটিল ফাংশনের মানসমূহের বিন্যাস • গুচ্ছ সেট • বীজগাণিতিক ফাংশন • অ্যালজেব্রয়ডাল ফাংশন • রিমান তল • আদর্শ সীমানা • সমরূপী চিত্রণ • অর্ধ-সমরূপী চিত্রণ • টাইখম্যুলার জগৎ • ক্লাইনীয় গ্রুপ • চরমমান দৈর্ঘ্য • ফাংশনতাত্ত্বিক শূন্য সেট • জটিল রাশির বিশ্লেষণী ফাংশন • বিশ্লেষণী জগৎ • স্বসমচিত্রণী ফাংশন
ফাংশনাল বিশ্লেষণ	ফাংশনাল বিশ্লেষণ • হিলবার্ট জগৎ • বানাখ জগৎ • ক্রমায়িত যোগাশ্রয়ী জগৎ • টপোগাণিতিক যোগাশ্রয়ী জগৎ • ফাংশন জগৎ • বন্টন ফাংশন ও অতিফাংশন • ভেক্টর-মানকৃত যোগজ • যোগাশ্রয়ী অপারেটর • সংবদ্ধ ও নিউক্লীয় অপারেটর • অপারেটরসমূহের অন্তঃপাতন • অপারেটরের বর্ণালী বিশ্লেষণ • যোগাশ্রয়ী অপারেটরের বিচলন • অপারেটরের সেমিগ্রুপ ও বিবর্তন সমীকরণ • অন্তরক অপারেটর • অণুস্থানীয় বিশ্লেষণ • বানাখ বীজগণিত • ফাংশন বীজগণিত • অপারেটর বীজগণিত • অপারেশনাল ক্যালকুলাস • অ-যোগাশ্রয়ী ফাংশনাল বিশ্লেষণ
অন্তরক, যোগজ এবং ফাংশনাল সমীকরণসমূহ	অন্তরক সমীকরণ • সাধারণ অন্তরক সমীকরণ • আদিমান সমস্যা • সীমাস্থ মান সমস্যা • সমাধানের অসীমতটীয় আচরণ • যোগাশ্রয়ী সাধারণ অন্তরক সমীকরণ • অ-যোগাশ্রয়ী অন্তরক সমীকরণ • অ-যোগাশ্রয়ী দোলন • অ-যোগাশ্রয়ী সমস্যাসমূহ • সুস্থিতি • যোগজ অব্যয় • অন্তর সমীকরণ • ফাংশনাল-অন্তরক সমীকরণ • পূর্ণ অন্তরক সমীকরণ • স্পর্শ রূপান্তর • আংশিক অন্তরক সমীকরণ • মোঁজ-অম্পেয়্যার সমীকরণ • উপবৃত্তীয় ধরনের আংশিক অন্তরক সমীকরণ • অধিবৃত্তীয় ধরনের আংশিক অন্তরক সমীকরণ • পরাবৃত্তীয় ধরনের আংশিক অন্তরক সমীকরণ • মিশ্র ধরনের আংশিক অন্তরক সমীকরণ • গ্রিনের ফাংশন • গ্রিনের অপারেটর • যোগজকলনীয় সমীকরণ • যোগজ-অন্তরক সমীকরণ • বিশেষ ফাংশনাল সমীকরণ • ছদ্ম-অন্তরক অপারেটর
বিশেষ ফাংশনসমূহ	বিশেষ ফাংশন • সৃজক ফাংশন • উপবৃত্তীয় ফাংশন • গামা ফাংশন • অধিজ্যামিতিক ফাংশন • গোলকীয় ফাংশন • সম্মিলিত অধিজ্যামিতিক ফাংশন • বেসেল ফাংশন • উপগোলকীয় ফাংশন • মাতিও ফাংশন
সাংখ্যিক বিশ্লেষণ	সাংখ্যিক পদ্ধতি • অন্তঃপাতন • ত্রুটি বিশ্লেষণ • আইগেনমানের সাংখ্যিক গণনা • সাংখ্যিক যোগজীকরণ • অ্যানালগ গণনা • ফাংশনের মূল্যায়ন
কম্পিউটার বিজ্ঞান এবং গুচ্ছবিন্যাস তত্ত্ব	স্বয়ংক্রিয়ক • কম্পিউটার • কোডিং তত্ত্ব • সাইবারনেটিক্‌স • দৈব সংখ্যা • সিমুলাশন • উপাত্ত প্রক্রিয়াকরণ • জীববিজ্ঞানে ব্যবহৃত গাণিতিক মডেলসমূহ • গণনার জটিলতা • গুচ্ছবিন্যাস তত্ত্ব • লাতিন বর্গ • গ্রাফ তত্ত্ব
সম্ভাবনা তত্ত্ব	সম্ভাবনা তত্ত্ব • সম্ভাবনা পরিমাপ • সম্ভাবনা তত্ত্বের সীমা উপপাদ্য • সম্ভাবনাযুক্ত প্রক্রিয়া • মার্কভ প্রক্রিয়া • মার্কভ শৃঙ্খল • ব্রাউনীয় চলন • ব্যাপন প্রক্রিয়া • যোগাত্মক প্রক্রিয়া • শাখায়ন প্রক্রিয়া • মার্টিংগেল • স্থিতিশীল প্রক্রিয়া • গাউসীয় প্রক্রিয়া • সম্ভাবনাযুক্ত অন্তরক সমীকরণ • আর্গডিক তত্ত্ব • সম্ভাবনাযুক্ত নিয়ন্ত্রণ • সম্ভাবনাযুক্ত শোধন • পরিসংখ্যানিক বলবিজ্ঞানের সম্ভাবনাভিত্তিক পদ্ধতি
পরিসংখ্যান	পরিসংখ্যানিক উপাত্ত বিশ্লেষণ • পরিসংখ্যানিক অনু্মান • পরিসংখ্যা • নমুনায়ন বিন্যাস • পরিসংখ্যানিক মডেল • পরিসংখ্যানিক সিদ্ধান্ত ফাংশন • পরিসংখ্যানিক মূল্যায়ন • পরিসংখ্যানিক অনুকল্প পরীক্ষণ • বহুচলকীয় বিশ্লেষণ • রোবাস্ট পদ্ধতি • অপরামিতিক পদ্ধতি • সময় ধারা বিশ্লেষণ • পরীক্ষাসমূহের ডিজাইন • নমুনা জরিপ • পরিসংখ্যানিক মান নিয়ন্ত্রণ • অর্থমিতি • জীবমিতি • মনোমিতি • ইন্সুরেন্স গণিত
গাণিতিক প্রোগ্রামিং এবং অপারেশন গবেষণা	গাণিতিক প্রোগ্রামিং • যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামিং • দ্বিঘাত প্রোগ্রামিং • অ-যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামিং • নেটওয়ার্ক প্রবাহ সমস্যা • পূর্ণ সংখ্যা প্রোগ্রামিং • সম্ভাবনাযুক্ত প্রোগ্রামিং • গতিশীল প্রোগ্রামিং • ক্রীড়া তত্ত্ব • অন্তরক ক্রীড়া • নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব • তথ্য তত্ত্ব • অপারেশন গবেষণা • মজুতভাণ্ডার নিয়ন্ত্রণ • তফসিলীকরণ ও উৎপাদন পরিকল্পনা

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

পাই