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Hensel引理 - Wikipedia

Hensel引理

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在數學上，Hensel引理是一個求根方法，類似牛頓法，可用於完備交換環。

Hensel引理的初等形式如下。

設 $f (x)$ 為有整係數多項式， $k$ 為不少於2的整數， $p$ 為質數。若整數 $r$ 是下面同餘式的根：

$f(r) \equiv 0 \pmod{p^{k-1}}.$

對於

$f(r+tp^{k-1}) \equiv 0 \pmod{p^k}$ （I）

，則有：

若 $f'(r) \not\equiv 0 \pmod{p}$ ，則存在唯一的整數 $0\le t \le p-1$ 使得（I）成立。

$t f'(r) \equiv -( f(r) /p^{k-1} ) \pmod{p} .\,$

若 $f'(r) \equiv 0 \pmod{p}$ 且 $f(r) \equiv 0 \pmod{p^k}$ ，則（I）對任意整數t成立。
若 $f'(r) \equiv 0 \pmod{p}$ 但 $f(r) \not\equiv 0 \pmod{p^k}$ ，則（I）無整數解。

[编辑] 證明

Hensel引理可用泰勒公式證明。

$f(r+tp^{k-1}) = f(r) + t p^{k-1} f'(r) + \frac{1}{2} t^2 p^{2(k-1)} f''(r) + \frac{1}{6} t^3 p^{3(k-1)} f'''(r) + ...$

因此可見，由第三項開始，都必能被 $p k$ 整除。因此：

$f(r+tp^{k-1}) \equiv f(r) + t p^{k-1} f'(r) \pmod{p^k}$

[编辑] 推廣

若 $K$ 為完備局域。設 $\mathcal{O}_K$ 為 $K$ 的整數環，設 $f (x)$ 為係數在 $\mathcal{O}_K$ 的多項式，若存在 $\alpha_0 \in \mathcal{O}_K$ 使得

| f (α 0) | < | f'(α 0) | 2

則 $f (x)$ 有根 $\alpha \in K$ 。

且：

$\alpha_{i+1} = \alpha_i - \frac{ f(\alpha_i) }{f'(\alpha_i) }$ 趨近 $α$
$| \alpha - \alpha_0 | \le | \frac{ f(\alpha_i) }{f'(\alpha_i) } | < 1$

這個引理其中一個重要應用就是在域為p進數的情形。

[编辑] 參考

分类: 交換代數 | 数论 | 同余 | 引理

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