约翰逊多面体
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Johnson多面體指是正多面體、半正多面體、柱體、反角柱之外,所有由正多邊形面組成的凸多面體。這些立體由Norman Johnson在1966年命名,1969年Victor Zalgaller證明只有92個這樣的立體。
- 因為在一個頂點相遇的面,每個面在該頂點的角的角度之和,不大於360°,又因為正多邊形的內角至少為60°,故每點最多有五個面在同一頂點。
- 所有Johnson多面體的面都是3, 4, 5, 6, 8或10邊形。
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[编辑] 分類
Johnson多面體的構成方法之一是將其他由正多邊形面組成的凸多面體和下面幾種立體的拼合:
- 棱錐:以正三、四、五邊形為底而成的角錐。如:正四角錐(J1)、正五面錐(J2)
- 台塔(平頂塔):有兩個在空間中平行的正多邊形,其中一個的邊數是另一個的兩倍。在兩者間加入三角形和正方形。如:正三角帳塔(J3)、正四角帳塔(J4)、正五角台塔(J5)。
- 丸塔:有兩個在空間中平行的正多邊形,其中一個的邊數是另一個的兩倍。在兩者間加入三角形和正五邊形。如:正五角罩帳(J6)、正五角罩帳反角柱(J25)。
另一種方法就是將這個凸多面體「切除」或「加上」一些立體。如:小斜方截半二十面體欠一側帳塔(J76)。
有八個Johnson多面體不能以這些方法取得。如:球形屋根(J86)及其它。
[编辑] 立體介紹
共有92種立體列於下表,表中Jn代表編號,V為頂點數,E為邊數,F為面數。
[编辑] 棱錐及塔
- 棱錐
- 台塔
- 丸塔
Jn | 名稱 | 圖像 | V | E | F | F3 | F4 | F5 | F6 | F8 | F10 | 點群 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 正四角錐 | 5 | 8 | 5 | 4 | 1 | C4v | ||||||
2 | 正五角錐 | 6 | 10 | 6 | 5 | 1 | C5v | ||||||
3 | 正三角台塔 | 9 | 15 | 8 | 4 | 3 | 1 | C3v | |||||
4 | 正四角台塔 | 12 | 20 | 10 | 4 | 5 | 1 | C4v | |||||
5 | 正五角台塔 | 15 | 25 | 12 | 5 | 5 | 1 | 1 | C5v | ||||
6 | 正五角丸塔 | 20 | 35 | 17 | 10 | 6 | 1 | C5v |
[编辑] 錐柱及雙錐
- 錐柱
- 錐反角柱
- 雙錐
- 雙錐柱
- 雙反角錐柱
Jn | 名稱 | 圖像 | V | E | F | F3 | F4 | F5 | F6 | F8 | F10 | 點群 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
7 | 正三角錐柱 | 7 | 12 | 7 | 4 | 3 | C3v | ||||||
8 | 正四角錐柱 | 9 | 16 | 9 | 4 | 5 | C4v | ||||||
9 | 正五角錐柱 | 11 | 20 | 11 | 5 | 5 | 1 | C5v | |||||
10 | 正四角錐反角柱 | 9 | 20 | 13 | 12 | 1 | C4v | ||||||
11 | 正五角錐反角柱 | 11 | 25 | 16 | 15 | 1 | C5v | ||||||
12 | 雙三角錐 | 5 | 9 | 6 | 6 | D3h | |||||||
13 | 雙五角錐 | 7 | 15 | 10 | 10 | D5h | |||||||
14 | 雙三角錐柱 | 8 | 15 | 9 | 6 | 3 | D3h | ||||||
15 | 雙四角錐柱 | 10 | 20 | 12 | 8 | 4 | D4h | ||||||
16 | 雙五角錐柱 | 12 | 25 | 15 | 10 | 5 | D5h | ||||||
17 | 雙四角錐反角柱 | 10 | 24 | 16 | 16 | D4d |
[编辑] 台塔柱及丸柱
- 台塔柱
- 丸塔柱
- 台塔反角柱
- 丸塔反角柱
- 雙角柱
- 雙台塔
- 台塔丸塔
- 雙丸塔
- 雙台塔柱
- 台塔丸塔柱
- 雙丸塔柱
- 雙台塔反角柱
- 雙丸塔反角柱
Jn | 名稱 | 圖像 | V | E | F | F3 | F4 | F5 | F6 | F8 | F10 | 點群 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
18 | 正三角台塔柱 | 15 | 27 | 14 | 4 | 9 | 1 | C3v | |||||
19 | 正四角台塔柱 | 20 | 36 | 18 | 4 | 13 | 1 | C4v | |||||
20 | 正五角台塔柱 | 25 | 45 | 22 | 5 | 15 | 1 | 1 | C5v | ||||
21 | 正五角丸塔柱 | 30 | 55 | 27 | 10 | 10 | 6 | 1 | C5v | ||||
22 | 正三角台塔反角柱 | 15 | 33 | 20 | 16 | 3 | 1 | C3v | |||||
23 | 正四角台塔反角柱 | 20 | 44 | 26 | 20 | 5 | 1 | C4v | |||||
24 | 正五角台塔反角柱 | 25 | 55 | 32 | 25 | 5 | 1 | 1 | C5v | ||||
25 | 正五角丸塔反角柱 | 30 | 65 | 37 | 30 | 6 | 1 | C5v | |||||
26 | 異相雙三角柱 | 8 | 14 | 8 | 4 | 4 | D2d | ||||||
27 | 同相雙三角台塔 | 12 | 24 | 14 | 8 | 6 | D3h | ||||||
28 | 同相雙四角台塔 | 16 | 32 | 18 | 8 | 10 | D4h | ||||||
29 | 異相雙四角台塔 | 16 | 32 | 18 | 8 | 10 | D4d | ||||||
30 | 同相雙五角台塔 | 20 | 40 | 22 | 10 | 10 | 2 | D5h | |||||
31 | 異相雙五角台塔 | 20 | 40 | 22 | 10 | 10 | 2 | D5d | |||||
32 | 同相五角台塔丸塔 | 25 | 50 | 27 | 15 | 5 | 7 | C5v | |||||
33 | 異相五角台塔丸塔 | 25 | 50 | 27 | 15 | 5 | 7 | C5v | |||||
34 | 同相雙五角丸塔 | 30 | 60 | 32 | 20 | 12 | D5h | ||||||
35 | 同相雙三角台塔柱 | 18 | 36 | 20 | 8 | 12 | D3h | ||||||
36 | 異相雙三角台塔柱 | 18 | 36 | 20 | 8 | 12 | D3d | ||||||
37 | 異相双四角台塔柱 | 24 | 48 | 26 | 8 | 18 | D4d | ||||||
38 | 同相雙五角台塔柱 | 30 | 60 | 32 | 10 | 20 | 2 | D5h | |||||
39 | 異相雙五角台塔柱 | 30 | 60 | 32 | 10 | 20 | 2 | D5d | |||||
40 | 同相五角台塔丸塔柱 | 35 | 70 | 37 | 15 | 15 | 7 | C5v | |||||
41 | 異相五角台塔丸塔柱 | 35 | 70 | 37 | 15 | 15 | 7 | C5v | |||||
42 | 同相雙五角丸塔柱 | 40 | 80 | 42 | 20 | 10 | 12 | D5h | |||||
43 | 異相雙五角丸塔柱 | 40 | 80 | 42 | 20 | 10 | 12 | D5d | |||||
44 | 雙三角台塔反角柱 | 18 | 42 | 26 | 20 | 6 | D3 | ||||||
45 | 雙四角台塔反角柱 | 24 | 56 | 34 | 24 | 10 | D4 | ||||||
46 | 雙五角台塔反角柱 | 30 | 70 | 42 | 30 | 10 | 2 | D5 | |||||
47 | 五角台塔丸塔反角柱 | 35 | 80 | 47 | 35 | 5 | 7 | C5 | |||||
48 | 双五角丸塔反角柱 | 40 | 90 | 52 | 40 | 12 | D5 |
[编辑] 側錐柱體
[编辑] 側錐正多面體
- 側錐正多面體
- 正多面體欠側錐
[编辑] 側台塔半正多面體
[编辑] 其它
此八個Johnson多面體不能以切除、增加角錐、台塔、丸塔等方法取得。本段有些立體尚未有中文譯名,故暫採日本譯名。
Jn | 名稱 | 圖像 | V | E | F | F3 | F4 | F5 | F6 | F8 | F10 | 點群 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
84 | 變稜雙五角椎 (Siamese dodecahedron) |
8 | 18 | 12 | 12 | D2d | |||||||
85 | 變稜四角反角柱 (Snub square antiprism) |
16 | 40 | 26 | 24 | 2 | D4d | ||||||
86 | 球形屋根 (Sphenocorona) |
10 | 22 | 14 | 12 | 2 | C2v | ||||||
87 | 側錐球形屋根 (Augmented sphenocorona) |
11 | 26 | 17 | 16 | 1 | Cs | ||||||
88 | 加長型球形屋根 (Sphenomegacorona) |
12 | 28 | 18 | 16 | 2 | C2v | ||||||
89 | 廣底加長型球形屋根 (Hebesphenomegacorona) |
14 | 33 | 21 | 18 | 3 | C2v | ||||||
90 | 五角錐球形屋根 (Disphenocingulum) |
16 | 38 | 24 | 20 | 4 | D2d | ||||||
91 | 雙新月雙丸塔 (Bilunabirotunda) |
14 | 26 | 14 | 8 | 2 | 4 | D2h | |||||
92 | 三角廣底球形屋根丸塔 (Riangular hebesphenorotunda) |
18 | 36 | 20 | 13 | 3 | 3 | 1 | C3v |
[编辑] 參考資料
- Norman W. Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pages 169–200. Contains the original enumeration of the 92 solids and the conjecture that there are no others.
- Victor A. Zalgaller(1969).Convex Polyhedra with Regular Faces.Consultants Bureau.No ISBN. The first proof that there are only 92 Johnson solids.
[编辑] 外部連結
- Sylvain Gagnon之"Convex polyhedra with regular faces", Structural Topology, No. 6, 1982, 83-95.
- Paper Models of Polyhedra
- George W. Hart描述之Johnson多面體
- 92種立體的圖片
- 埃立克·魏爾斯史甸在MathWorld中所描述之Johnson多面體。
- Johnson多面體虛擬模型
- Magnetic Blocks之Educational toy system for making Johnson solids and other polyhedra
- Vladimir Bulatov之Johnson多面體的虛擬模型