Sólido de Johnson
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En geometría, un sólido de Johnson es un poliedro estrictamente convexo, siendo cada una de sus caras un polígono regular. Por otra parte, no es un sólido platónico, ni un sólido de Arquímedes, ni un prisma ni un antiprisma. No se requiere que todas las caras sean un mismo polígono, o que polígonos del mismo tipo se unan por los vértices. Un ejemplo de sólido de Johnson es la pirámide de base cuadrada con lados equiláteros J1, que presenta una cara cuadrada y cuatro triangulares.
En un sólido convexo estricto, al menos tres caras concurren a un vértice, y el total de sus ángulos es menor a 360º. Dado que un polígono regular tiene ángulos de al menos 60º, a lo sumo pueden concurrir cinco caras en cada vértice. La pirámide de base pentagonal (J2) es un ejemplo de grado 5 (máximo).
Aunque no existen restricciones respecto a que un determinado polígono forme una cara de un sólido de Johnson, los polígonos aplicables siempre tienen 3,4,5,6,8 o 10 lados.
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[editar] Historia
En 1946 el matemático norteamericano Norman Johnson publicó una lista de 92 sólidos, dándole nombres y número. Aunque no probó la imposibilidad de que existieran otros sólidos, hizo tal conjetura, y en 1969 Victor Zalgaller probó que la lista estaba completa.
Entre los sólidos enumerados, la girobicúpula rectangular (J37) resulta única por tener vértices uniformes: cuatro caras concurren a acada vértice, y su disposición es siempre la misma; tres cuadrados y un triángulo.
[editar] Nomenclatura
Los nombres listados son más descriptivos que su sonido. La mayoria de los sólidos de Johnson pueden construirse a partir de una pirámide, una cúpula o una rotonda, junto a sólidos platónicos, de Arquímedes, prismas y antiprismas.
[editar] Enumeración
[editar] Prismatoides y rotondas
- Pirámides
- Cúpulas
- Rotonda
| Jn | Nombre | Imagen | V | E | F | F3 | F4 | F5 | F6 | F8 | F10 | Simetría | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Pirámide cuadrada |  |
5 | 8 | 5 | 4 | 1 | C4v | |||||
| 2 | Pirámide pentagonal |  |
6 | 10 | 6 | 5 | 1 | C5v | |||||
| 3 | Cúpula triangular |  |
9 | 15 | 8 | 4 | 3 | 1 | C3v | ||||
| 4 | Cúpula cuadrada |  |
12 | 20 | 10 | 4 | 5 | 1 | C4v | ||||
| 5 | Cúpula pentagonal |  |
15 | 25 | 12 | 5 | 5 | 1 | 1 | C5v | |||
| 6 | Rotonda pentagonal |  |
20 | 35 | 17 | 10 | 6 | 1 | C5v | ||||
[editar] Pirámides y bipirámides modificadas
- Pirámide alargada
- Pirámide giroalargada
- Bipirámide
- Dipirámide alargada
- Dipirámide giroalargada
| Jn | Nombre | Imagen | V | E | F | F3 | F4 | F5 | F6 | F8 | F10 | Simetría | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 7 | Elongated triangular pyramid |  |
7 | 12 | 7 | 4 | 3 | C3v | |||||
| 8 | Elongated square pyramid or (augmented cube) or (augmented square prism) |
 |
9 | 16 | 9 | 4 | 5 | C4v | |||||
| 9 | Elongated pentagonal pyramid |  |
11 | 20 | 11 | 5 | 5 | 1 | C5v | ||||
| 10 | Gyroelongated square pyramid |  |
9 | 20 | 13 | 12 | 1 | C4v | |||||
| 11 | Gyroelongated pentagonal pyramid or (diminished icosahedron) |
 |
11 | 25 | 16 | 15 | 1 | C5v | |||||
| 12 | Triangular dipyramid |  |
5 | 9 | 6 | 6 | D3h | ||||||
| 13 | Pentagonal dipyramid |  |
7 | 15 | 10 | 10 | D5h | ||||||
| 14 | Elongated triangular dipyramid |  |
8 | 15 | 9 | 6 | 3 | D3h | |||||
| 15 | Elongated square dipyramid or (biaugmented cube) or (biaugmented square prism) |
 |
10 | 20 | 12 | 8 | 4 | D4h | |||||
| 16 | Elongated pentagonal dipyramid |  |
12 | 25 | 15 | 10 | 5 | D5h | |||||
| 17 | Gyroelongated square dipyramid |  |
10 | 24 | 16 | 16 | D4d | ||||||
[editar] Referencias
- Norman Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pg. 169–200. Enumeración original de los 92 sólidos, y conjetura sobre que no existen otros.
- Victor A. Zalgaller (1969), Consultants Bureau, Convex Polyhedra with Regular Faces. No ISBN. Primera prueba de que sólo hay 92 sólidos de Johnson.
[editar] Enlaces externos
- Sylvain Gagnon, "Convex polyhedra with regular faces", Structural Topology, No. 6, 1982, 83-95.
- Paper Models of Polyhedra Varios enlaces
- Johnson Solids por George W. Hart.
- Imágenes de los 92 sólidos categorizados
- MathWorld
- Modelos VRML
- Educational Juego para constrír estos y otros sólidos Bloques magnéticos
- Modelos VRML por Vladimir Bulatov
