矩阵的秩

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在线性代数中，一个矩阵 A 的列秩是 A 的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是 A 的线性无关的横行的极大数目。

矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A 的秩。通常表示为 rk(A) 或 rank A。

m × n 矩阵的秩最大为 m 和 n 中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。

[编辑] 可替代的定义

[编辑] 用向量组的秩定义

向量族的秩：在一个m维线性空间E中，一个向量组 $F=(C_1,C_2, \cdots , C_n)$ 的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑m × n 矩阵 $A=[C_1,C_2, \cdots , C_n]$ ，将A的秩定义为向量组F的秩，则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵 A 的线性无关纵列的极大数目，即 A 的列空间的维度(列空间是由 A 的纵列生成的 F^m 的子空间)。因为列秩和行秩是相等的，我们也可以定义 A 的秩为 A 的行空间的维度。

[编辑] 用线性映射定义

考虑线性映射：

$f_A : F^n \to F^m$

$x \mapsto A \cdot x$

对于每个矩阵A， $f A$ 都是一个线性映射，同时，对每个 $F^n \to F^m$ 的线性映射f，都存在矩阵A使得 $f = f A$ 。也就是说，映射

$\Phi : \mathcal{M}_n (\mathbb{K}) \to \mathcal{L}(F^n,F^m)$

$A \mapsto f_A$

是一个同构映射。所以一个矩阵 A 的秩还可定义为 $f A$ 的像的维度(像与核的讨论参见线性映射)。矩阵 A 称为 $f A$ 的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为 n 减 f 的核的维度；秩-零度定理声称它等于 f 的像的维度。

[编辑] 性质

我们假定 A 是在域 F 上的 m × n 矩阵并描述了上述线性映射。

只有零矩阵有秩 0
A 的秩最大为 min(m,n)
f 是单射，当且仅当 A 有秩 n(在这种情况下，我们称 A 有“满列秩”)。
f 是满射，当且仅当 A 有秩 m(在这种情况下，我们称 A 有“满行秩”)。
在方块矩阵 A (就是 m = n) 的情况下，则 A 是可逆的，当且仅当 A 有秩 n (也就是 A 有满秩)。
如果 B 是任何 n × k 矩阵，则 AB 的秩最大为 A 的秩和 B 的秩的极小者。

即：秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B))

推广到若干个矩阵的情况，就是：秩(A₁A₂...A_m )≤min(秩(A₁)，秩(A₂)，...秩(A_m))

证明：

考虑矩阵的秩的线性映射的定义，令A、B对应的线性映射分别为 f 和 g ，则秩(AB)表示复合映射 f·g，它的象 Im f·g 是 g 的像 Im g 在映射 f 作用下的象。然而 Im g 是整个空间的一部分，因此它在映射 f 作用下的象也是整个空间在映射 f 作用下的象的一部分。也就是说映射 Im f·g 是Im f 的一部分。对矩阵就是：秩(AB)≤秩(A)。

对于另一个不等式：秩(AB)≤秩(B)，考虑 Im g 的一组基：（e₁，e₂，...，e_n），容易证明（f(e₁)，f(e₂)，...，f(e_n)）生成了空间 Im f·g ，于是 Im f·g 的维度小于等于Im g 的维度。对矩阵就是：秩(AB)≤秩(B)。

因此有：秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B))。若干个矩阵的情况证明类似。

作为 "<" 情况的一个例子，考虑积

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

两个因子都有秩 1，而这个积有秩 0。

可以看出，等号成立当且仅当其中一个矩阵（比如说 A ）对应的线性映射不减少空间的维度，即是单射，这时 A 是满秩的。于是有以下性质：

如果 B 是秩 n 的 n × k 矩阵，则 AB 有同 A 一样的秩。
如果 C 是秩 m 的 l × m 矩阵，则 CA 有同 A 一样的秩。

A 的秩等于 r，当且仅当存在一个可逆 m × m 矩阵 X 和一个可逆的 n × n 矩阵 Y 使得

$XAY = \begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

这里的 I_r 指示 r × r 单位矩阵。

证明可以通过高斯消去法构造性地给出。

矩阵的秩加上矩阵的零度等于矩阵的纵列数(这就是秩-零度定理)。

[编辑] 计算

计算矩阵 A 的秩的最容易的方式是高斯消去法。高斯算法生成的 A 的行梯阵形式有同 A 一样的秩，它的秩就是非零行的数目。

例如考虑 4 × 矩阵

$A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 \\ -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix}$

我们看到第 2 纵列是第 1 纵列的两倍，而第 4 纵列等于第 1 和第 3 纵列的总和。第1 和第 3 纵列是线性无关的，所以 A 的秩是 2。这可以用高斯算法验证。它生成下列 A 的行梯阵形式:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

它有两个非零的横行。

在应用在计算机上的浮点数的时候，基本高斯消去(LU分解)可能是不稳定的，应当使用秩启示(revealing)分解。一个有效的替代者是奇异值分解 (SVD)，但还有更少代价的选择，比如有支点(pivoting)的QR分解，它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自 SVD 的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和应用二者。

[编辑] 应用

计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组只要有一个解。在这种情况下，它有精确的一个解，如果它的秩等于方程的数目。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，则通解有 k 个自由参量，这里的 k 是在方程的数目和秩的差。否则方程组是不一致的。

在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的，或可观察的。

[编辑] 引用

Horn, Roger A. and Johnson, Charles R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2.
Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [1] and System of Equations [2]

[编辑] 参见

向量组的秩

分类: 矩陣論 | 線性代數

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