德林費爾德模

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在數學領域，德林費爾德模或橢圓模是一種特別的模，佈於有限域上的代數曲線的坐標環上。粗略地說，德林費爾德模是複橢圓曲線的複乘法理論之函數域版本。

俄文單詞 штука（英語拼音：shtuka 或 chtouca，源於德文的 Stück，意指物件或東西），又稱F-層，是德林費爾德模的一種延伸，由曲線上的向量叢和其它關乎弗羅貝尼烏斯映射的資料組成。

弗拉基米爾·德林費爾德在1973年發明了德林費爾德模，隨後推廣到 штука，以證明函數域上的 $GL(2)$ 郎蘭茲猜想。洛朗·拉福格藉由研究 n秩 штука的模疊與跡公式，在2002年證出 $GL(n)$ 的情形。

[编辑] 德林費爾德模

[编辑] 加性多項式環

設 $L$ 為特徵 $p > 0$ 的域。定義其上的非交換多項式環 $L {τ}$

a₀ + a₁τ + a₂τ² + ...

乘法由下述條件確定

τ a = a p τ

元素 $τ$ 可設想為弗羅貝尼烏斯映射。事實上， $L$ 是左 $L {τ}$ -模，其中 $L$ 以乘法作用而 $τ$ 以 $a \mapsto a^p$ 映射。環 $L {τ}$ 也可以看作是如下多項式的集合

$a_0 X^1 + a_1 X^p + a_2 X^{p^2} + \cdots = a_0\tau^0 + a_1\tau + a_2\tau^2 + \cdots \in L[X]$

這類多項式滿足 $f(X+Y)=f(X)+f(Y) \in L[X,Y]$ ，故稱加性多項式；此環的乘法由多項式的合成給出，而非乘法，故非交換。

[编辑] 形式定義

今設 $A$ 為交換環，L 上的 德林費爾德 A-模定義為環同態 $\psi: A \to L\{\tau\}$ ，使得 $ψ(A)$ 不包含於 $L$ ；此條件意在排除一些平凡例子。環 $A$ 通常取作某條有限域上的仿射曲線的坐標環。

$L {τ}$ 可視為加法群 $(L, + )$ 的自同態，而德林費爾德 A-模可視為 $A$ 在 $(L, + )$ 上的作用。

[编辑] 例子

置 $A := \mathbb{F}_p[T]$ ，對應到虧格為一的仿射代數曲線。德林費爾德模 $\psi: A \to L\{\tau\}$ 僅依賴於像 $\psi(T) \in L\{\tau\} \setminus L$ 。此時德林費爾德模可等同於 $L\{\tau\} \setminus L$ 。對於虧格更高的曲線，德林費爾德模會更複雜。
承上，Carlitz 模是由 $ψ(T) = T + τ$ ， $L$ 為含 $\mathbb{F}_p$ 的完備代數封閉域給出的德林費爾德模。此模首先由 Leonard Carlitz 在1935年展開研究，詳見Goss 的著作第三章。

[编辑] штука

設 $X$ 是有限域 $\mathbb{F}_p$ 上的代數曲線。對概形或疊 $U$ ，其上的秩 r （右）штука 由下列資料定義：

$U \times X$ 上的秩 r 局部自由層 $E, E'$ 及單射

$E \rightarrow E' \leftarrow (\mathrm{Fr}^* \times 1)^* E$

其餘核的支撐集包括於某態射 $U \to X$ 的圖（稱為該 штука 的零點與極點，記為 $0$ 與 $\infty$ ），且在支撐集上是秩 $1$ 局部自由層。在此 $Fr$ 表 $U$ 上的弗羅貝尼烏斯態射。

左 штука 的定義類似，但態射的方向反轉；若極點與零點集互斥，則實際上無分左右。

粗略而言，考慮不同的 $U$ ，可得代數疊 $Sht r$ 及 $\mathrm{Sht}^r \times X$ 上的「萬有 штука」，並有相對維度 $2$ 的平滑態射 $(\infty,0): \mathrm{Sht}^r \to X \times X$ 。注意到當 $r > 1$ 時，疊 $Sht r$ 並非有限型的。

德林費爾德模可在某種意義下視作特別的 штука（自定義觀之，這絕非明顯），詳見 Drinfel'd, V. G. Commutative subrings of certain noncommutative rings. Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11--14, 96. 。

[编辑] 應用

簡言之，函數域上的郎蘭茲猜想是關於 $GL(n)$ 的尖點自守表示及某個伽羅瓦群的表示之間的對應。德林費爾德利用 штука 證明 $n = 2$ 的情形。此猜想的難處在於構造滿足特定性質的伽羅瓦表示，德林費爾德的高處在於從某個秩 $2$ штука 的模空間的 $\ell$ -進上同調入手，找出相應的伽羅瓦表示。

德林費爾德認為此法可延伸至 $n \geq 2$ 的情形。拉福格最後克服了其中的大量技術困難，完成證明。

[编辑] 文獻

[编辑] 德林費爾德模

V. Drinfel'd, Elliptic modules (Russian) Math. Sbornik 94 (1974), English translation in Math. USSR Sbornik 23 (1976) 561-92.
D. Goss, Basic structures of function field arithmetic, ISBN 3-540-63541-6
Drinfel'd module in the Springer encyclopaedia of mathematics
G. Laumon, Cohomology of Drinfeld modular varieties I, II, Cambridge university press 1996

[编辑] штука

Drinfel'd, V. G. Cohomology of compactified moduli varieties of F-sheaves of rank 2. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. i Teor. Chisel. III, 107--158, 189; translation in J. Soviet Math. 46 (1989), no. 2, 1789-1821
Drinfel'd, V. G. Moduli varieties of F-sheaves. (Russian) Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21 (1987), no. 2, 23--41. English translation: Functional Anal. Appl. 21 (1987), no. 2, 107-122.
D. Goss, What is a shtuka? Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 50 No. 1 (2003)

[编辑] 拉福格在郎蘭茲猜想方面的工作

Lafforgue, L. Chtoucas de Drinfeld et applications. (Drinfeld shtukas and applications) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. II, 563--570
Lafforgue, Laurent Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg et correspondance de Langlands. (Drinfeld shtukas, Arthur-Selberg trace formula and Langlands correspondence) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002), 383--400, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.
Gérard Laumon, The work of Laurent Lafforgue Proceedings of the ICM, Beijing 2002, vol. 1, 91--97
G. Laumon La correspondance de Langlands sur les corps de fonctions (d'apres Laurent Lafforgue) (The Langlands correspondence over function fields (according to Laurent Lafforgue)) Seminaire Bourbaki, 52eme annee, 1999-2000, no. 873

分类: 代數數論 | 代数几何

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