微分形式

维基百科，自由的百科全书

微分形式(differential form)是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由著名法国数学家埃里·卡当(Elie Cartan)引入的。

[编辑] 简介

我们从Rⁿ中的开集的情形开始。一个0-形式(0-form)定义为一个光滑函数f. 当我们在Rⁿ的m-维子空间S上对函数f积分是，我们将积分写作:

$\int_S f\,dx_1 \ldots dx_m.$

把dx₁, ..., dx_n 当作形式化的对象，而非让积分看起来像个黎曼和的标记。我们把这些和他们的负−dx₁, ..., −dx_n叫做基本 1-形式。

我们再在其上定义一种乘法规则楔积，这种乘法只需满足反交换的条件: 对所有i,j

$dx_i \wedge dx_j = - dx_j \wedge dx_i$

注意这意味着

$dx_i \wedge dx_i = 0$ .

我们把这些乘积的集合叫做基本 2-形式，类似的我们定义乘积

$dx_i \wedge dx_j \wedge dx_k$

的集合为基本 3-形式，这里假定n至少为3。现在定义一个单项式 k-形式为一个0-形式乘以一个基本的k-形式，定义 k-形式为一些单项式k-形式的和。

楔积可以推广到这些和上:

$(f\,dx_I + g\,dx_J)\wedge(p\,dx_K + q\,dx_L) =$

$f \cdot p\,dx_I \wedge dx_K + f \cdot q\,dx_I \wedge dx_L + g \cdot p\,dx_J \wedge dx_K + g \cdot q\,dx_J \wedge dx_L,$

等等, 这里dx_I和类似的项表示k-形式。换句话说，和的积就是所有可能的积的和。

现在，我们来定义光滑流形上的k-形式。为此，我们假设有一个开坐标覆盖。我们可以在每个坐标邻域上定义一个k-形式；一个全局的k-形式就是一组坐标领域上的k-形式，他们在坐标邻域的交集上一致。这种一致的精确定义，见流形。

[编辑] 楔积的属性

若f, g,w为任意微分形式，则

$w \wedge (f + g) = w \wedge f + w \wedge g.$

若f为k-形式，g为l-形式:

$f \wedge g = (-1)^{kl} g \wedge f.$

[编辑] 抽象(简明)定义及讨论

在微分几何中，k阶微分流形是一个流形的余切丛的k阶楔乘幂(exterior power)的光滑截面。在流形的每一点p,一个k-形式给出一个从切空间的k阶直积幂(cartesian power)到R的多线形映射。

例如，光滑函数(0-形式)的微分就是一个1-形式。

1-形式在张量的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念。在这个上下文中，他们可以定义为向量的的实值函数，并可以看成他们所对应的向量空间的对偶空间。1-形式的一个旧称就是"[协变向量]]"。

[编辑] 微分形式的积分

k阶微分形式可以在k维链(chain)上积分。若k = 0,这就是函数在点上的取值。其他的k = 1, 2, 3, ... 对应于线积分，曲面积分，体积分等等。

设

$\omega=\sum a_{i_1,\cdots,i_k}({\mathbf x})\,dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k}$

为一微分形式，设S为一个我们想在其上积分的集合，其中S有参数化形式

$S({\mathbf u})=(x_1({\mathbf u}),\cdots,x_n({\mathbf u}))$

u属于参数域D。则[Rudin, 1976]定义S上微分形式的积分为

$\int_S \omega =\int_D \sum a_{i_1,\cdots,i_k}(S({\mathbf u})) \frac{\partial(x_{i_1},\cdots,x_{i_k})}{\partial(u_{1},\cdots,u_{k})}\,d{\mathbf u}$

其中

$\frac{\partial(x_{i_1},\cdots,x_{i_k})}{\partial(u_{1},\cdots,u_{k})}$

是雅戈比矩阵的行列式。

参见斯托克斯定理(Stokes' Theorem)。

[编辑] 微分形式的操作

一个流形上所有k-形式的集合是一个向量空间。而且，其上有三类操作:楔积, 外微分 (用d表示), 和李导数。d² = 0, 细节请见de Rham上同调。

外导数和积分的基本关系由推广的斯托克斯定理给出，它也同时给出了de Rham上同调和链的同调的对偶性。

[编辑] 参考

Walter Rudin (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill, Inc.. ISBN 0-07-054235.

Michael Spivak (1965). Calculus on Manifolds. W. A. Benjamin, Inc.; Menlo Park CA. ISBN 66-10910.

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.