同调

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数学上（特别是代数拓扑和抽象代数）中，同调（homology，在希腊语中homos = 同）是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象（例如拓扑空间或者群）联系起来的过程。背景知识请参看同调论。

对于一个特定的拓扑空间，同调群通常闭同伦群要容易计算得多，因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。

[编辑] 同调群的构造

其过程如下：给定对象 $X$ ，首先定义链复形，它包含了 $X$ 的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模 $A_0,A_1,A_2,\dots$ 的序列，群同态 $d_n : A_n \rightarrow A_{n-1}$ 满足任何两个相连的同态的复合为0: $d_n \circ d_{n+1} = 0$ 对于所有n成立。着意味着第n+1个映射的像包含在第n个映射的核中，我们定义X的第n阶同调群为因子群（因子模）

H n (X) = ker(d n) / im(d n + 1).

链复形称为恰当的，如果（n + 1）阶映射的像总是等于n阶映射的核。因此 $X$ 的同调群是 $X$ 所关联的链复形和恰当有“多远”的衡量。

[编辑] 例子

导致引入这个概念的例子是代数拓扑:单纯复形 $X$ 的单纯同调。 $A n$ 在这里就是 $X$ 中的n维可定向单纯形所生成的自由可换群或者模。这些映射称为边界映射，它将单纯形

$(a[0],a[1],\dots,a[n])$

映射为如下的和

$\sum_{i=0}^n (-1)^i(a[0],\dots,a[i-1],a[i+1],\dots,a[n]).$

如果我们将模取在一个域上，则 $X$ 的n阶同调的维数就是 $X$ 中n维的洞的个数。

仿照这个例子，可以定义任何拓扑空间 $X$ 的奇异同调。我们定义 $X$ 的上同调的链复形中的空间为 $A n$ 为自由可换群（或者自由模），其生成元为所有从n为单纯形到 $X$ 的连续函数。同态 $d n$ 从单纯形的边界映射得到。

抽象代数中，同调用于定义衍生函子（derived functor），例如，Tor函子。这里，我们可以从某个可加协变函子 $F$ 和某个模 $X$ 开始。 $X$ 的链复形定义如下：首先找到一个自由模 $F 1$ 和一个满同态 $p_1 : F_1 \rightarrow X$ 。然后找到一个自由模 $F 2$ 和一个满同态 $p_2 : F_2 \rightarrow \mathrm{ker}(p_1)$ 。以该方式继续，得到一个自由模 $F n$ 和同态 $p n$ 的序列。将函子 $F$ 应用于这个序列，得到一个链复形；这个复形的同调 $H n$ 仅依赖于 $F$ 和 $X$ ，并且按定义就是 $F$ 作用于 $X$ 的n阶衍生函子。

[编辑] 同调函子

链复形构成一个范畴：从链复形 $(d_n : A_n \rightarrow A_{n-1})$ 到链复形 $(e_n : B_n \rightarrow B_{n-1})$ 的态射是一个同态的序列 $f_n : A_n \rightarrow B_n$ ，满足 $f_{n-1} \circ d_n = e_{n-1} \circ f_n$ 对于所有n成立。n阶同调 $H n$ 可以视为一个从链复形的范畴到可换群（或者模）的范畴的协变函子。

若链复形以协变的方式依赖于对象 $X$ （也就是任何态射 $X \rightarrow Y$ 诱导出一个从 $X$ 的链复形到 $Y$ 的链复形的态射），则 $H n$ 是从 $X$ 所属的范畴到可换群（或模）的范畴的函子。

同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于 $X$ ，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为 $H n$ ）构成从 $X$ 所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。

[编辑] 性质

若 $(d_n : A_n \rightarrow A_{n-1})$ 是链复形，满足出有限个 $A n$ 外所有项都是零，而非零的都是有限生成可换群（或者有限维向量空间），则可以定义欧拉特征数

$\chi = \sum (-1)^n \,\mathrm{rank}(A_n)$

（可换群采用阶而向量空间的情况采用[[哈默尔维数）。事实上在同调的层次上也可以计算:

$\chi = \sum (-1)^n \,\mathrm{rank}(H_n)$

并且，特别是在代数拓扑中，这提供了两个计算产生链复形的对象 $X$ 的重要的不变量 $χ$ .

每个链复形的短恰当序列

$0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$

导致一个同调群的长恰当序列

$\cdots \rightarrow H_n(A) \rightarrow H_n(B) \rightarrow H_n(C) \rightarrow H_{n-1}(A) \rightarrow H_{n-1}(B) \rightarrow H_{n-1}(C) \rightarrow H_{n-2}(A) \rightarrow \cdots \,$