平坦模

维基百科，自由的百科全书

在抽象代數中，一個環 $R$ 上的平坦模是一個 $R$ -模 $M$ ，使得函子 $- \otimes_R M$ 保持序列的正合性；若此函子還是忠實函子，則稱之為忠實平坦模

域上的向量空間都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。在一個局部諾特環上，平坦性、射影性與自由性三者等價。

自塞爾的論文《代數幾何與微分幾何》以降，平坦性便在同調代數與代數幾何中扮演重要角色。其幾何意義甚深，詳見條目平坦態射。

[编辑] 交換環的情形

當 $R$ 為交換環，一個 $R$ -模的平坦性等價於 $N \mapsto N \otimes_R M$ 是個從 $R$ -模到 $R$ -模之正合函子。

將環 $R$ 對一個積性子集 $S$ 的局部化 $S - 1 R$ 視作 $R$ -模，則它是平坦的。

當 $R$ 是諾特環而 $M$ 是有限生成 $R$ -模時，平坦性在下述意義等價於局部自由模： $M$ 是平坦 $R$ -模若且唯若對任何素理想 $\mathfrak{p}$ ，局部化 $M_\mathfrak{p}$ 是自由 $R_\mathfrak{p}$ -模。事實上，對條件中的 $\mathfrak{p}$ 僅須考慮極大理想即可。

[编辑] 一般的環

當 $R$ 非交換時的定義須作如下修改：假設 $M$ 是左 $R$ -模，則稱之左平坦模，若且唯若對 $M$ 的張量積將右 $R$ -模的正合序列映至阿貝爾群的正合序列。

環上的張量積總是右正合函子，所以左 $R$ -模 $M$ 是平坦模的充要條件是：對任何右 $R$ -模的單射 $K \rightarrow L$ ，取張量積後的同態 $K \otimes_R M \rightarrow L \otimes_R M$ 仍為單射。

[编辑] 極限

一般來說，平坦模的歸納極限仍是平坦模；此陳述可由 $- \otimes_R M$ 與 $Hom R (M, - )$ 的伴隨性質形式地推出。平坦模的子模與商模不一定是平坦模，然而我們有下述定理：一個平坦模的同態像是平坦模，若且唯若其核為純子模。

Lazard 在1969年證明了：模 $M$ 平坦的充要條件是它可表成有限生成自由模的歸納極限。由此可知有限展示的平坦模都是射影模。

一個阿貝爾群是平坦 $\mathbb{Z}$ -模的充要條件是其中沒有撓元。

[编辑] 同調代數

[编辑] 與Tor函子的關係

平坦性也可以用Tor函子的消沒性表示。Tor函子是張量積的左導函子。一個左 $R$ -模 $M$ 的平坦性等價於 $n \geq 1 \Rightarrow \mathrm{Tor}_n^R(-, M)=0$ ；類此，一個右 $R$ -模 $N$ 的平坦性等價於 $n \geq 1 \Rightarrow \mathrm{Tor}_n^R(N,-)=0$ 。藉Tor函子的長正合序列可以導出下列關於基本性質：

考慮短正合序列

$0 \longrightarrow A \longrightarrow B \longrightarrow C \longrightarrow 0$

若 $A, C$ 平坦，則 $B$ 亦然。
若 $B, C$ 平坦，則 $A$ 亦然。
若 $A, B$ 平坦， $C$ 不一定平坦；若假設 $A$ 是 $B$ 的純子模而 $B$ 平坦，則可推出 $A$ 與 $C$ 皆平坦。

[编辑] 局部判準

設 $R$ 為交換環， $I \subset R$ 為一理想，則我們有下述平坦性的局部判準。

定理（Bourbaki）. 以下諸條件等價：

$M$ 是平坦 $R$ -模。
$R/I \otimes_R M$ 是平坦 $R / I$ -模，且 $\mathrm{Tor}^R_1(M, R/I)=0$ 。
$R/I \otimes_R M$ 是平坦 $R / I$ -模，且典範同態 $I \otimes_R M \rightarrow IM$ 為同構。
對所有 $R$ -模 $N$ ，有 $IN=0 \Rightarrow \mathrm{Tor}^R_1(M,N)=0$ 。
對所有 $R$ -模 $N$ ，有 $\exists s \in \mathbb{N} \; I^sN=0 \Rightarrow \mathrm{Tor}^R_1(M,N)=0$ 。
對所有 $s \in \mathbb{N}$ ， $R/I^s \otimes_R M$ 是平坦 $R / I s$ -模。
$R/I \otimes_R M$ 是平坦 $R / I$ -模，且典範態射 $\gamma: \mathrm{gr}_I^0(M) \otimes_{R/I} \mathrm{gr}_I^\bullet (A) \rightarrow \mathrm{gr}_I^\bullet (M)$ 為同構。

此判準在代數幾何中的用途尤大。

[编辑] 平坦分解

一個模 $M$ 的平坦分解是如下形式的正合序列：

$\cdots \rightarrow F_i \rightarrow F_{i-1} \rightarrow \cdots \rightarrow F_0 \rightarrow M \rightarrow 0$

使得其中每個 $F i$ 都是平坦模。

任何射影分解都是平坦分解。

[编辑] 忠實平坦模

一個 $R$ -模 $M$ 被稱作忠實平坦的，若且唯若 $- \otimes_R M$ 是個忠實的正合函子。這也就是說：

$M$ 是個平坦 $R$ -模。
典範映射 $\mathrm{Hom}_R(N_1, N_2) \rightarrow \mathrm{Hom}(N_1 \otimes_R M, N_2 \otimes_R M)$ 是單射。

當 $R$ 為交換環時，有以下幾種等價的刻劃：

$M$ 是忠實平坦的。
$M$ 是平坦的，且 $N \otimes_R M=0 \Rightarrow N=0$ 。
$M$ 是平坦的，且對所有極大理想 $\mathfrak{m} \subset R$ 都有 $R/\mathfrak{m} \otimes_R M \neq 0$ 。
一個序列 $N_\bullet$ 正合，若且唯若 $N_\bullet \otimes_R M$ 正合。

[编辑] 文獻

Multilinear Algebra, Northcott D.G, 1984, Cambridge University Press - page 33
Eisenbud, David（1995）．Commutative algebra with a view toward algebraic geometry．New York：Springer-Verlag，xvi+785．ISBN 0-387-94268-8．

分类: 交換代數 | 代数几何

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

平坦模