導函子
维基百科,自由的百科全书
在同調代數中,阿貝爾範疇間的某類函子可以「求導」,以獲得相應的導函子。此概念可以融貫數學中許多領域裡的具體構造。
目录 |
[编辑] 動機
考慮導函子的原始目的是從一個短正合序列造出一個長正合序列。具體言之:給定兩個阿貝爾範疇 ,及其間的加法函子 。假設 F 為左正合函子,換言之,對 中的任一短正合序列
下列序列是正合的:
由此自然導出一個問題:如何自然地延長此正合序列?F 的(右)導函子是一族函子 ,滿足 R0F = F,且有相應的長正合序列:
導函子可以視為 F 的右正合性的尺度。
[编辑] 構造與初步性質
[编辑] 右導函子
今假設 中有充足的內射元。設 ,根據假設,存在內射分解:
取函子 F,得到上鏈複形:
定義 RiF(X) 為其第 i 個上同調群,特別是有 R0F(X) = F(X)。注意到兩點:
- 由於任兩個內射分解彼此同倫等價,函子 RiF 在同構的意義下是明確定義的。
- 若 X 是內射對象,取平凡分解 ,可知當 i > 0 時有 RiF(X) = 0。
[编辑] 左導函子
左導函子的建構與右導函子對偶。設 為右正合加法函子,並假設 有充足的射影元。對任一對象 ,取一射影分解:
取函子 G,得到鏈複形:
定義 LiG(X) 為其第 i 個同調群,其性質類似右導函子。
[编辑] 逆變函子的情形
對於逆變函子也能定義導函子,此時的導函子也是逆變函子。較有系統的方法是利用反範疇的概念。
[编辑] 長正合序列
對於右導函子的情形,任一短正合序列 給出長正合序列
對於左導函子,相應的長正合序列形如
此外,這些長正合序列在下述意義下是「自然」的:
- 短正合列之間的態射導出長正合序列間的態射。
- 函子間的自然變換導出長正合序列尖的態射。
這些性質是蛇引理的推論。
[编辑] 應用
- 層上同調:對拓撲空間 X,考慮其上的阿貝爾群層構成的範疇,它有充足的內射元。整體截面函子 是左正合函子,相應的右導函子即層上同調函子 。
- 平展上同調:平展上同調用於概形上的另一種上同調理論。
- Ext函子:設 R 為環,考慮 R-模範疇,它有充足的內射元及射影元。對任一 R-模 A,函子 HomR(A, − ) 為左正合的,其右導函子記為 。
- Tor函子:同樣考慮 R-模範疇,對任一 R-模 B,函子 為右正合的,其左導函子記為 。
- 群上同調:設 G 為群。所謂 G-模是指被 G 作用的阿貝爾群,G-模範疇可以理解為 -模範疇。對任一 G-模 M,定義 ,這是一個左正合函子,其右導函子即群上同調函子 。
[编辑] 推廣
現代的導範疇理論為導函子提供了一套較廣的框架。
[编辑] 文獻
- Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5; 0-521-55987-1