ebooksgratis.com

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
平均数不等式 - Wikipedia

平均数不等式

维基百科，自由的百科全书

平均数不等式是数学上的一组不等式。它是说：

如果x_1, \ldots, x_n是正數，则

\frac{n}{1/x_1 + 1/x_2 + \cdots + 1/x_n} \le \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \le \sqrt {{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} \over n}

当且仅当 x_1 = x_2 = \cdots = x_n ，等号成立。

即对这些正数：调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数（方均根）

[编辑] n = 2 时的情形

  • 第一个不等号
\left( x_1 - x_2 \right) ^2 = x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\; \ge 0\,\;
\left( x_1 + x_2 \right) ^2 = x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\; \ge 4 x_1 x_2\,\;
1\,\; \ge \frac{4 x_1 x_2}{\left( x_1 + x_2 \right) ^2}\,\;
1\,\; \ge \frac{2 \sqrt{x_1 x_2}}{ x_1 + x_2 }\,\;
\sqrt{x_1 x_2}\,\; \ge \frac{2 x_1 x_2}{ x_1 + x_2 } = \frac{2}{ 1/x_1 + 1/x_2 }\,\;
  • 第二个不等号
\left( x_1 - x_2 \right) ^2 = x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\; \ge 0\,\;
\left( x_1 + x_2 \right) ^2 = x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\; \ge 4 x_1 x_2\,\;
\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right)^2\,\; \ge x_1 x_2\,\;
\frac{x_1 + x_2}{2}\,\; \ge \sqrt{x_1 x_2}\,\;
  • 第三个不等号
(\frac{ x_1 - x_2 }{2}) ^2 = \frac{x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2}{4}\,\; \ge 0\,\;
\frac{x_1^2 + x_2^2}{2} = \frac{x_1^2 + x_2^2 + x_1^2 + x_2^2}{4}\,\; \ge \frac{2 x_1 x_2 + x_1^2 + x_2^2}{4} = \frac{(x_1 + x_2)^2}{4}\,\;
\sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2}{2}}\,\; \ge \frac{x_1 + x_2}{2}\,\;


aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -