定常系統

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在經典力學裏，如果一個系統的所有約束都是定常約束，則定義此系統為定常系統。定常約束的方程式顯性地不相依於時間。假若約束方程式顯性地相依於時間，則稱此約束為非定常約束。

[编辑] 應用

在三維空間裏，1 顆質量為 $m\,\!$ 、速度為 $v\,\!$ 的粒子的動能是

$T =\frac{1}{2}m v^2 \,\!$ 。

速度是位置 $\mathbf{r}\,\!$ 隨時間 $t\,\!$ 的導數。運用偏微分連鎖律來得到以下方程式：

$\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\sum_i\ \frac{\partial \mathbf{r}}{dq_i}\dot{q}_i+\frac{\partial \mathbf{r}}{dt}\,\!$ 。

所以，

$T =\frac{1}{2}m\sum_i\ \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\right)^2\,\!$ 。

仔細地將方程式展開^[1]，

$T =T_0+T_1+T_2\,\!$ ：

$T_0=\frac{1}{2}m\left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\right)^2\,\!$ ，

$T_1=\sum_i\ m\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\dot{q}_i\,\!$ ，

$T_2=\sum_{i,j}\ \frac{1}{2}m\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_j}\dot{q}_i\dot{q}_j,\!$ 。

$T_0\,\!$ 、 $T_1\,\!$ 、 $T_2\,\!$ 分別為廣義速度 $\dot{q}_i\,\!$ 的 0 次、1 次、2 次齊次函數。如果這系統是定常系統，位置不顯性地相依於時間：

$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}=0\,\!$ 。

因此，只有 $T_2\,\!$ 不等於零。所以，

$T =T_2\,\!$ 。

動能是廣義速度的2 次齊次函數。

[编辑] 實例：擺

簡單擺

如圖右，一個簡單擺系統是由一個擺錘與一條繩子組成的；繩子的上端固定，下端繫著擺錘。由於這繩子是無法伸縮的，繩子的長度是常數。所以，這系統是定常系統；它遵守定常約束

$\sqrt{x^2+y^2} - L=0\,\!$ ；

這裏， $(x,\ y)\,\!$ 是擺錘的位置， $L\,\!$ 是擺長。

繩子上端呈簡諧運動的簡單擺

參考右圖，假設一個簡單擺的繩子上端呈簡諧運動：

$x_t=x_0\cos\omega t\,\!$ ；

這裏， $x_0\,\!$ 是振幅， $\omega\,\!$ 是角頻率， $t\,\!$ 是時間。

雖然這繩子的上端不是固定的，無法伸縮的繩子的長度仍舊是常數，擺錘與繩子上端點的直線距離必須保持不變。所以，這個擺系統是非定常系統；它遵守非定常約束

$\sqrt{(x - x_0\cos\omega t)^2+y^2} - L=0\,\!$ 。

[编辑] 參閱

[编辑] 參考文獻

^ （英文）Goldstein, Herbert（1980）．Classical Mechanics，3rd，United States of America：Addison Wesley，pp. 25．ISBN 0201657023．

分类: 力學 | 经典力学 | 拉格朗日力學 | 哈密顿力学

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