双曲线
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在数学中,双曲线(希腊语 ὑπερβολή 字面意思是“超过”或“超出”)是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是 a 的两倍,这里的 a 是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a 还叫做双曲线的半实轴。焦点位于贯穿轴上它们的中间点叫做中心。
从代数上说,双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线
使得 ,这里的所有系数都是实数,并存在定义在双曲线上的点对 (x, y) 的多于一个的解。
注意在笛卡尔坐标平面上两个互为倒数的变量的图像是双曲线。
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[编辑] 定义
前两个上面已经列出了:
双曲线由分开两个焦点的两个分离的叫做臂或分支的曲线构成。随着到焦点的距离的变大,双曲线就越逼近叫做渐进线的两条线。渐进线交叉于双曲线的中点,并对于东西开口的双曲线有斜率 ,对于北南开口的双曲线有斜率 。
双曲线有个性质,出自一个焦点的射线反射于双曲线后开起来像是出自另一个焦点。
双曲线的一个特殊情况是“等轴”或“直角”双曲线,它的渐进线交于直角。以坐标轴作为渐进线的直角双曲线由方程 xy=c 给出,这里的 c 是常数。
如同正弦和余弦函数给出椭圆的参数方程,双曲函数给出双曲线的参数方程。
如果对双曲线方程交换 x 和 y,得到它的共轭双曲线。共轭双曲线有同样的渐进线。
[编辑] 笛卡尔坐标
中心位于 (h,k) 的东西开口的双曲线:
中心位于 (h,k) 的北南开口的双曲线:
实轴贯穿双曲线的中心并交双曲线两臂于它们的顶点(拐点)。焦点位于双曲线实轴的延长线上。虚轴贯穿双曲线中点并垂直于实轴。
在两个公式中,a 是半实轴(在双曲线两臂之间沿着实轴测量的距离),而 b 是半虚轴。
如果用双曲线的两个顶点的切线交渐进线形成一个矩形,在切线上的两边的长度是 2b,平行于实轴的两边的长度是 2a,注意 b 可以大于 a。
如果计算从双曲线上任意点到每个焦点的距离,这两个距离的差的绝对值总是 2a。
离心率给出自
东西开口的双曲线的焦点是
- 这里的 c 给出自
北南开口的双曲线的焦点是
- 这里的 c 给出自
对于以坐标轴为渐进线的直角双曲线:
这种双曲线最简单的例子是
- .
[编辑] 极坐标
东西开口的双曲线:
北南开口的双曲线:
北东南西开口的双曲线:
北西南东开口的双曲线:
在所有公式中,中心在极点,而 a 是半实轴和半虚轴。
[编辑] 参数方程
东西开口的双曲线:
或
北南开口的双曲线:
或
在所有公式中,(h,k)是双曲线的中点,a 是半实轴而 b 是半虚轴。
[编辑] 参见
[编辑] 外部链接
- PlanetMath上Unit hyperbola的資料。
- PlanetMath上Conic section的資料。
- PlanetMath上Conjugate hyperbola的資料。
- Mathworld - Hyperbola
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