上极限和下极限
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数学上,序列的上极限和下极限可以看为序列的极限上下界。函数的上极限和下极限可以用类似方式考虑。(参见函数的极限)。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点的上确界和下确界。
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[编辑] 定义
序列(xn)的上极限定义是
- ;
或者
- 。
同样的,序列xn的下极限定义是
- ;
或者
- 。
这些定义在任意的偏序集都适用,只需要上确界和下确界存在。 在完全格裡,上确界和下确界总是存在,所以其中的序列一定有上极限和下极限。
每当和都存在,那么
- 。
上极限和下极限也记为和。
[编辑] 实数数列
实数集R的数列对微积分很重要。R不是完全格,但可以加入正负无穷以得到全序集。
那么在中数列(xn) 收敛当且仅当 ,而这时等于上面的共同值。 (注意当只是考虑R时,收敛至或并不当作收敛。)
若和 ,那么区间[I,S]不一定包含任何的xn,但是轻微扩大了的[I-ε,S+ε] 对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的xn。区间[I, S]是适合这个性质的最小闭区间。
一个数论例子是
- }-,
其中是第个素数。 下极限的值的猜测为2——这是孪生素数猜想——但至今连它是否有限也没能证明。
[编辑] 集的序列
集合X的冪集P(X)是完全格。对于P(X)中的序列,也就是X的子集的序列,其上下极限也有用处。
若Xn是这样的序列,那么X的元素a属于当且仅当存在自然数n0使得对于所有n > n0,a在Xn裡。元素a属于
当且仅当对所有自然数n0,都存在一个指数n > n0使得a在Xn裡。换句话说,包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有无限多个n,使得它在集合Xn裡;而包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有除了有限多个外的所有n,使得它在Xn裡。
以集合论的标准语言来说,一个集合序列的下确界是这些集合的可数交,也就是包含在所有集合裡的最大集合:
- 。
令In为自Xn起的集合的下确界。那么序列In非递减,因为。所以,第1至n个下确界的并集就是第n个下确界。下极限就是这序列的极限:
- 。
上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合,也就是它们的可数并:
- 。
上极限是这个非递增的上确界序列的可数交(其中每个上确界都包含在前一个裡面)。
- 。
例子或应用可见博雷尔—坎特利引理(Borel-Cantelli),柯西-阿达马公式(Cauchy-Hadamard Formula)。
[编辑] 引用
- Amann, H.,Escher, Joachim(2005).Analysis.Basel; Boston: Birkhäuser.ISBN 0817671536.
- González, Mario O(1991).Classical complex analysis.New York: M. Dekker.ISBN 0824784154.