Bao lồi

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

[sửa] Các định nghĩa

Trong toán học, bao lồi của một tập X gồm các điểm trong không gian vector thực V là tập lồi nhỏ nhất chứa X.

Để hiểu được bao lồi bao giờ cũng tồn tại, chúng ta cần thấy rằng mọi tập X đều được chứa trong ít nhất một tập lồi nào đó (chẳng hạn, tập lồi đó chính là toàn bộ không gian V), và giao của các tập lồi chứa X cũng là một tập lồi chứa X. Như vậy, ta có thể đưa ra một định nghĩa khác cho bao lồi: bao lồi là giao của tất cả các tập lồi chứa X.

Một cách trực tiếp hơn, bao lồi của X cũng thể được mô tả theo kiểu đưa ra cách xây dựng như sau: nó chính là tập hợp tất cả các tổ hợp lồi của các điểm thuộc X: tức là, tập hợp của tất cả các điểm có dạng , trong đó n là số tự nhiên bất kỳ, các số t_j không âm và tổng của chúng bằng 1, còn các điểm x_j thuộc X. Cũng khá đơn giản để kiểm tra được rằng một tập hợp như vậy thỏa mãn cả hai định nghĩa về bao lồi ở trên.

Thực ra, nếu X là một tập con của một không gian vector N chiều, thì chỉ cần lấy tổ hợp lồi của N + 1 điểm của X là đủ cho định nghĩa trên. Điều này cũng tương đương với phát biểu rằng bao lồi là hợp của tất cả các đơn hình với đỉnh thuộc X. Đây cũng chính là định lý Carathéodory.

Bao lồi được định nghĩa cho mọi dạng vật thể bất kỳ nào được tạo ra từ các điểm của một không gian vector, chính vì thế nó có thể có số chiều bất kỳ. Bao lồi của tập hợp hữu hạn các điểm hay các vật thể hình học khác trong một mặt phẳng hai chiều hay không gian ba chiều là những trường hợp đặc biệt mà có ý nghĩa quan trọng trong thực tiễn.

[sửa] Xem thêm

[sửa] Liên kết ngoài

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng | Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê

Bài này còn sơ khai trong lĩnh vực toán học. Chúng ta đang có những nỗ lực để hoàn thiện bài này. Nếu bạn biết về vấn đề này, bạn có thể giúp đỡ bằng cách viết bổ sung (trợ giúp).