Poissonova enačba

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Poissonova enáčba [poasónova ~] (imenovana tudi enačba teorije potenciala) je parcialna diferencialna enačba 2. reda

$\nabla^{2} \phi (\mathbf{r}) = \rho (\mathbf{r}) \; ,$

kjer je $\nabla^{2}$ Laplaceov operator, φ skalarno polje in ρ, velikokrat imenovana izvorna funkcija, poljubna dana funkcija kraja v podmnožici D množice $\mathbb{R}^{n}$ .

Če je funkcija točke ρ = 0, dobimo Laplaceovo enačbo

$\nabla^{2} \phi = 0 \; .$

Poissonova enačba je linearna in zanjo velja načelo superpozicije: za $\nabla^2\phi_1=\rho_1$ in $\nabla^2\phi_2=\rho_2$ sledi $\nabla^2(\phi_1+\phi_2)=\rho_1+\rho_2$ . To dejstvo pomaga pri konstrukciji rešitev Poissonove enačbe iz osnovnih rešitev ali Greenovih funkcij, kjer je izvorna porazdelitev Diracova porazdelitvena funkcija.

Leta 1812 je Siméon-Denis Poisson odkril, da Laplaceova enačba velja samo zunaj telesa. Strogi dokaz za mase s spremenljivo gostoto pa je podal šele Carl Friedrich Gauss leta 1839. Poisson je prvič objavil svojo enačbo leta 1813 v Bulletin de in société philomatique. Obe enačbi imata ekvivalenta v vektorski algebri.

Rešitev φ za dano funkcijo f je pomemben praktični problem, saj na ta način običajno dobimo električni potencial Ψ za dano porazdelitev električnega naboja ρ_e:

$\nabla^{2} \Psi = { \rho_{e}\over \varepsilon\varepsilon_{0} } \; .$

Za numerične rešitve enačbe obstaja več metod. Ena od njih, s pomočjo iteracijskega algoritma je relaksacijska metoda.

Raziskovanje skalarnega polja φ iz dane divergence ρ(x, y, z) njegovega gradienta vede na Poissonovo enačbo v 3-razsežnem prostoru:

$\nabla^{2} \phi = \rho (x,y,z) \; .$

To je pomemben primer za n = 3. Tu je D cela v $\mathbb{R}^{3}$ . Ko se točka oddalji v neskončnost ( $\vert\mathbf r\vert\to\infty$ ) je $\phi(\mathbf r)\to 0$ . Splošna rešitev je Newtonov potencial:

$\phi(\mathbf r)=-\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\rho(\mathbf{r'})}{\vert\mathbf{r}-\mathbf{r'}\vert}\mathrm{d}^3\mathbf{r'}.$

V tekočini porazdelitev naboja ni znana in je potrebno uporabiti Poisson-Boltzmannovo enačbo, ki pa se v večini primerov ne da rešiti analitično, ampak samo za določene primere.

Če polje φ ni skalarno, velja Poissonova enačba, kot je to lahko v 4-razsežnem prostoru Minkowskega:

$\square^{2} \phi_{\mu\nu} = \rho (ct,x,y,z) \; .$