Singularita (matematika)

Z Wikipédie

V matematike, singularita vo všeobecnosti predstavuje bod, v ktorom daný matematický objekt nie je definovaný, alebo bod v ktorom sa objekt výnimočne nespráva korektne, napr. funkcia nemá deriváciu.

Napríklad matematická funkcia

f(x) = 1/x

má na obore reálnych čísiel singularitu v bode x = 0, v ktorom vyletí do ±∞ a nie je v ňom definovaná. Funkcia g(x) = |x| (pozri absolútna hodnota) má tiež singularitu v bode x = 0, nakoľko v ňom nie je derivovateľná. Podobne, graf definovaný rovnicou y² = x má tiež singularitu v bode [0,0], pretože v ňom má „roh“ (vertikálnu dotyčnicu).

Algebrická množina definovaná rovnicou y² = x² v súradnicovom systéme (x, y) má singularitu v bode [0,0], pretože v ňom nepripúšťa dotyčnicu.

[upraviť] Komplexná analýza

V komplexnej analýze existujú štyri druhy singularít. Nech U je otvorená podmnožina komplexného čísla C, a je prvkom U a f je holoedrická funkcia (po anglicky holomorphic function) definovaná na U \ {a}.

• Bod a je odstrániteľná singularita (po anglicky removable singularity) funkcie f vtedy, keď existuje holoedrická funkcia g definovaná na množine U, takže f(z) = g(z) pre každé z z U − {a}.

• Bod a je pólom funkcie f vtedy, keď existuje holoedrická funkcia g definovaná na množine U a prirodzené číslo n tak, že f(z) = g(z) / (z − a)ⁿ pre každé z z U −{a}.

• Bod a je základná (nevyhnutná, po anglicky essential singularity) singularita funkcie f vtedy keď nie je ani odstrániteľná singularita ani pól.

[upraviť] Z pohľadu dynamiky

Singularita konečného času (po anglicky finite-time singularity) sa vyskytuje vtedy, keď sa kinematická premenná v konečnom čase zväčšuje smerom k nekonečnu. Príkladom by bol skackavý pohyb neelastickej lopty na rovine. Keď berieme do úvahy ideálny pohyb, pri ktorom stráca lopta pri každom odraze tú istú časť kinetickej energie, frekvencia odrazov sa v konečnom čase stane nekonečnou, keď sa lopta dostane do pokoja. Iné príklady zahŕňajú Eulerov disk a Painlevéov paradox.

[upraviť] Využitie

Matematická singularita sa v technickej praxi používa na tzv. čiernu mágiu. Ak sa nám totiž podarí delenie nulou, tak môže platiť aj napr. 1+1=3 alebo čokoľvek potrebujeme (a to aj bez dodatočného dodefinovania). Samozrejme, že v inžinierskej praxi nedelíme úplne nulou ale sa k nej blížime. Takto sa dajú napr.:

• stabilizovať aj štrukturálne nestabilné systémy
• niektoré NP-ťažké problémy sa dajú transformovať na lineárne. Napr. v 3D grafike, kde je obyčajne množstvo kvadratických závislostí od počtu prvkov, môžeme dynamicky urobiť lineárnu závislosť, a tým grafiku rádovo zrýchliť (ale až pri obrovskom množstve prvkov).
• extrémne úsporné a vysokoúčinné systémy

Na to slúži tabuľka funkcií čiernej mágie. Obsahuje ale len také, pre ktoré existuje nejaké overené technické použitie. Napríklad rotujúce systémy sú takmer čierna mágia, len si to obyčajne nikto ani nevšimne.