Reálne číslo
Z Wikipédie
Reálne číslo je každé číslo patriace do množiny reálnych čísel.
Reálne čísla môžu byť:
Exaktne sa reálne čísla dajú zadefinovať viacerými spôsobmi, napr. axiomatickým zavedením (pozri nižšie), pomocou Dedekindových rezov alebo Cauchyho postupnosťami.
[upraviť] Množina reálnych čísel, axiomatické zadefinovanie
Množina reálnych čísel je ľubovoľná množina (budeme ju označovať R), na ktorej sú zadefinované ľubovoľné dve binárne operácie, označme ich + a *, ktorá spĺňa nasledovné vlastnosti:
- R tvorí s operáciami + a * pole (algebra), pričom neutrálny prvok operácie + budeme symbolicky označovať 0 a neutrálny prvok operácie * symbolicky 1,
- pole R je usporiadané, inými slovami, existuje na ňom (nejaké) totálne usporiadanie, označme ho ≤, také, že pre všetky reálne čísla x, y a z platí:
- ak x > y, potom x + z > y + z,
- ak x > 0 a súčasne y > 0, potom x*y > 0,
- uvedené usporiadanie je dedekindovsky úplné, teda každá zhora ohraničená neprázdna podmnožina množiny R má supremum (najmenšie horné ohraničenie) tiež v R.
Posledná vlastnosť odlišuje množinu reálnych čísel od racionálnych. Napríklad množina všetkých racionálnych čísel menších ako druhá odmocnina z 2 má horné ohraničenie (napríklad 1,5), ale jej najmenšie horné ohraničenie -- supremum (odmocnina z 2) nie je racionálne číslo.
Reálne čísla sú týmito vlastnosťami úplne určené. Ak teda existujú dve rôzne množiny (presnejšie polia) R1 a R2, potom existuje jedinečný izomorfizmus medzi nimi, a sú vzhľadom na tieto vlastnosti prakticky rovnaké.
Množinu prirodzených čísel N možno definovať, ako najmenšiu podmnožinu množiny R s vlastnosťami
- ak
, tak 
V tejto definícii je aj nula prirodzené číslo.
