4-ток

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

4-ток, четырёхток в специальной и общей теории относительности — лоренц-инвариантный четырёхвектор, который заменяет электромагнитную плотность тока электрических зарядов (или 3-вектор плотности тока любых других частиц) и объёмную плотность заряда (или объёмную концентрацию частиц).

$J^{\mu} = \left(c \rho, \mathbf{j} \right),$

где

c — скорость света,

ρ — скалярная плотность заряда,

j — 3-вектор плотности тока.

В специальной теории относительности локальное сохранение электрического заряда выражается уравнением непрерывности, которое означает равенство нулю инвариантной дивергенции 4-тока:

$D \cdot J = \partial_{\mu} J^{\mu} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0,$

где D — 4-векторный оператор, называемый 4-градиентом и определяемый как $\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\; \mathbf{\nabla} \right).$ Здесь использовано соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам. Вышеприведённое уравнение можно короче записать как

$J^{\mu}{}_{,\mu}=0\,$

с обычным обозначением частной производной по данной координате как запятой перед соответствующим индексом. В общей теории относительности уравнение непрерывности записывается так:

$J^{\mu}{}_{;\mu}=0\,,$