Тождество Эйлера (кватернионы)
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Тождество Эйлера о четырёх квадратах — математическая теорема о том, что
произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов. |
Действительно:
Тождество выполняется для элементов любого коммутативного кольца, однако если ai и bi — действительные числа, тогда тождество может быть переформулировано в терминах кватернионов, а именно: модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей:
- | ab | = | a | | b | .
[править] Аналогичные тождества
- «тождество одного квадрата» означает, что модуль произведения двух действительных чисел равен произведению модулей сомножителей:
- | ab | = | a | | b | ,
- «тождество двух квадратов» (т. н. тождество Брахмагупты) означает, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей:
- | ab | = | a | | b | ,
- «тождество восьми квадратов» означает, что модуль произведения двух октонионов равен произведению модулей сомножителей:
- | ab | = | a | | b | ,
- «тождества шестнадцати (и более) квадратов» не существует.
[править] История
Тождество было выведено Эйлером в 1750 году. Тождество Эйлера было использовано Лагранжем в доказательстве его теоремы о сумме четырех квадратов.