Теория Гинзбурга — Ландау

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Созданная в начале 1950-х гг. В. Л. Гинзбургом и Л. Д. Ландау математическая теория сверхпроводимости.

Теория построена исходя из следующего вида лагранжиана:

$\mathcal{L}= \frac{\hbar^2}{2m}\nabla\psi\nabla\psi^\star+ \alpha|\psi|^2 + \beta|\psi|^4$ ,

где $ψ$ — комплексное поле пар Купера, $\nabla$ — оператор ковариантного дифференцирования относительно электромагнитного потенциала $\mathbf{A}$ , а $α$ и $β$ — эмпирические постоянные.

Функционал свободной энергии имеет вид:

$F = F_n + \alpha |\psi|^2 + \frac{\beta}{2} |\psi|^4 + \frac{1}{2m} \left| \left(-i\hbar\nabla - 2e\mathbf{A} \right) \psi \right|^2 + \frac{|\mathbf{H}|^2}{2\mu_0}$ ,

где F_n — свободная энергия в нормальной фазе, а H — магнитное поле.

Варьируя этот функционал по $ψ$ и $\mathbf{A}$ , мы приходим к уравнениям Гинзбурга - Ландау:

$\alpha \psi + \beta |\psi|^2 \psi + \frac{1}{2m} \left(-i\hbar\nabla - 2e\mathbf{A} \right)^2 \psi = 0$

$\mathbf{J} = \frac{2e}{m}\left( \psi^* \left(-i\hbar\nabla - 2e \mathbf{A} \right) \psi \right)$ ,

где J — электрический ток.

Уравнения Гинзбурга — Ландау ведут ко многим правильным и интересным выводам. Самым интересным, наверное, является существование двух характерных длин в сверхпроводниках. Первая — это длина когеренции ξ:

$\xi = \sqrt{\frac{\hbar^2}{2 m |\alpha|}}$

которая описывает термодинамические флуктуации в сверхпроводящей фазе. И вторая — глубина проникновения магнитного поля λ:

$\lambda = \sqrt{\frac{m}{4 \mu_0 e^2 \psi_0^2}}$

где ψ₀ — это равновесное значение функции состояния в отсутствие электромагнитного поля.

Отношение κ = λ/ξ называют параметром Гинзбурга - Ландау. Известно, что у сверхпроводников I типа κ < 1/√2, а у сверхпроводников II типа κ > 1/√2. Также известно, что сверхпроводники II типа имеют фазовый переход второго рода, а сверхпроводники II типа — первого. Это было подтверждено теорией Гинзбурга — Ландау.

Одним из самых важных следствий теории Гинзбурга — Ландау являлось нахождение вихрей Абрикосова в сверхпроводниках II типа, находящихся в сильном магнитном поле.