Теорема Уитни о вложении
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
В дифференциальной топологии, Теорема Уитни о вложении утверждает что
Произвольное гладкое m-мерное многообразие со счётной базой может быть вложено в 2m-мерное евклидово пространство. |
Этот результат оптимален, например, m-мерное проективное пространство невозможно вложить в (2m - 1)-мерное евклидово пространство.
[править] О доказательстве
Случаи m = 1 и m = 2 делаются руками. В случае легко видеть что гладкое отображение общего положения является погружением с трансверсальными самопересечениями. Чтобы избавится от этих самопересечений, следует применить несколько раз трюк Уитни:
[править] Трюк Уитни
Пусть есть точка самопересечения и такие, что f(x) = f(y) = p. Соединим x и y гладкой кривой.
Тогда есть замкнутая кривая в . Построим отображение с границей .
В общем положении, h является вложением (как раз здесь мы используем то, что ). Тогда можно продеформировать h, в маленькой окрестности h(D2) так, чтобы эта точка самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить как только представляешь эту картинку.