Сопряжённые функторы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Сопряжённые функторы в математике и в частности в теорий категорий — это пара функторов, состоящих в определённом соотношении между собой. Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики.

Неформально функторы F и G сопряжены, если они удовлетворяют соотношению Hom(F(X), Y) = Hom(X, G(Y)).

[править] Формальные определения

Существуют несколько эквивалентных определений сопряжённых функторов, которые употребляются в литературе. Ниже приводится одно из этих определений.

Пара сопряжённых функторов между категориями C и D состоит из функторов F : C → D и G : D → C и биекций

Φ_X,Y : Mor_D(F(X), Y) → Mor_C(X, G(Y))

для каждых объектов X из C и Y из D, естественных по обоим аргументам. Естественность Φ означает, что для каждого морфизма f : X′ → X в C и для каждого морфизма g : Y → Y′ в D следующая диаграмма коммутативна:

F называется левым сопряжённым функтором G, а G — правым сопряжённым функтором F. Каждый функтор может иметь только один левый (правый) сопряжённый функтор.

[править] Единица и коединица

Каждая пара сопряжённых функторов определяет единицу сопряжения, естественное преобразование из 1_C в GF, состоящее из морфизмов

η_X : X → GF(X)

для каждого X в C. η_X определяется как Φ_X,F(X) (id_F(X)).

Аналогично, определяется коединица ε, естественное преобразование из FG в 1_D состоящее из морфизмов

ε_Y : FG(Y) → Y.

для каждого Y в D. ε_Y определяется как Φ_G(Y),Y⁻¹(id_G(Y)).

Частным случаем сопряжения является эквивалентность категорий. В этом случае единица и коединица являются изоморфизмами.